Tóm tắt luận văn Thạc sĩ Toán học: Nhị thức Newton và một số ứng dụng

Luận văn trình phương pháp xây dựng chứng minh công thức theo trình tự lịch sử, thì mục đích chính của luận văn là việc mở rộng, chứng minh sự đúng đắn của công thức nhị thức Newton với số mũ bất kỳ thông qua khai triển về chuỗi, sự hội tụ của chuỗi lũy thừa.

Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Tóm tắt luận văn Thạc sĩ Toán học: Nhị thức Newton và một số ứng dụng BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC THĂNG LONG NGUYỄN ĐÌNH ĐỘ - C00806 NHỊ THỨC NEWTON VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNGTÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - Năm 2018 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC THĂNG LONG NGUYỄN ĐÌNH ĐỘ - C00806 NHỊ THỨC NEWTON VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNGTÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC CHUYÊN NGÀNH: Phương pháp toán sơ cấp MÃ SỐ: 8 46 01 13 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. NGUYỄN CÔNG SỨ Hà Nội - Năm 2018 1 PHẦN MỞ ĐẦU Nhị thức Newton đã được đưa vào giảng dạy trong chươngtrình phổ thông trung học từ rất lâu. Tuy nhiên do hạn chế vềthời lượng, khối lượng và cả nội dung kiến thức, nên nhị thứcNewton với học sinh phổ thông lâu nay đơn giản chỉ là cách xâydựng công thức tổng quát từ các trường hợp cụ thể và rèn luyệnkỹ năng sử dụng các công thức đó trong việc giải các bài toán cóliên quan. Trong khi thực tế thì công thức nhị thức Newton làđóng góp đáng kể của nhiều nhà toán học trước đó. Và sau cùnglà Newton vào kho tàng toán học của nhân loại cả về phươngdiện lý thuyết lẫn thực tế tính toán, cả trong lĩnh vực toán họcsơ cấp lẫn toán cao cấp. Cũng đã có một vài luận văn thạc sĩ đề cập đến lĩnh vực này,nhưng chỉ dừng lại ở các phương pháp xây dựng công thức nhịthức với số mũ nguyên. và vận dụng nó vào việc giải bài toán sơcấp trong chương trình trung học phổ thông. Luận văn này ngoài việc trình bày phương pháp xây dựngchứng minh công thức theo trình tự lịch sử, thì mục đích chínhcủa luận văn là việc mở rộng, chứng minh sự đúng đắn của côngthức nhị thức Newton với số mũ bất kỳ thông qua khai triển vềchuỗi, sự hội tụ của chuỗi lũy thừa. Ngoài việc mở rộng công thứcnhị thức Newton, tác giả cũng đề cập đến ý nghĩa toán học tolớn của công thức trong lĩnh vực tính toán các giá trị của hàmsố siêu việt,hàm số lượng giác (sin x, cos x). 2 Các vấn đề trên được trình bày đầy đủ và hệ thống trongChương 1 và Chương 2 của luận văn từ trang 05 đến trang 49. Chương 3 của luận văn dành riêng để giới thiệu ứng dụng khaitriển công thức nhị thức Newton trong việc giải một số bài toánsơ cấp nâng cao có liên quan đến việc tính tổng các biểu thức tổhợp, đến việc xét tính chia hết, việc tìm số dư trong phép chiacác số lớn. Những bài toán này cũng thường gặp trong các lĩnhvực khác của khoa học toán ứng dụng. Đặc biệt là các mã đại sốvà mật mã trong lý thuyết mã. 3Chương 1KHÁI NIỆM CƠ BẢN1.1 VÀI NÉT LỊCH SỬ VỀ XÂY DỰNG CÔNG THỨC NHỊ THỨC NEWTON1.1.1 Vài nét lịch sử Cần phải nói rằng trước Newton rất lâu rất nhiều các nhàtoán học đã quan tâm đến việc nâng một nhị thức lên lũy thừa.Vào 1303 trong bài viết của nhà toán học Trung Quốc (Chu Sinh)người ta đã gặp bảng sau: Cứ theo các số trên thì ta thấy đó là bảng các hệ số của khaitriển nhị thức cấp từ 0 đến 8, mặc dù nhà toán học này khôngnói gì cho hệ số tiếp theo, nhưng theo cùng cách lập bảng củaông thì dễ dàng lập được hàng tiếp theo. Tính quy luật ở đây là:Tổng hai số cách nhau trong cùng một hàng bằng số đứng giữachúng ở hàng dưới. 4 Đặc biệt trong công trình cuối cùng về tam giác số học và cáctính chất của nó được công bố năm 1665 của Pascal (sau khi tácgiả đã chết) mang tên “Luận văn về tam giác số học” được coi làcông trình biết đến rộng rãi nhất trong các nhà toán học làm chotam giác số học mang tên là tam giác Pascal. Về phương diệnlịch sử thì tên gọi đó không đúng bởi lẽ như trình bày trên thìtam giác số học được xét đến bởi các nhà toán học Ấn Độ, TrungQuốc, Ả Rập trước Pascal rất lâu.1.1.2 Xây dựng công thức khai triển nhị thức Newton với số mũ dương Giả sử rằng cần nhân m lần các nhị thức (1 + x), hay nói cáchkhác đó là nâng (1 + x) lên lũy thừa cấp m. Lặp lại cách làm nhưtrên ta có công thức(1+x)m = 1+A1 x+A2 x2 +A3 x3 +A4 x4 +· · ·+Ak xk +· · ·+Am−1 xm−1 +xm .Vậy m (k − 1) m (k − 2) m (k − 3) m−2 m−1Ak = · · ··· ·m· k k−1 k−2 3 2 m (m − 1) (m − 2) · · · [m − (k − 3)] [m − (k − 2)] [m − (k − 1)] = 1 · 2 · 3 · 4 · · · (k − 2) (k − 1) k m (m − 1) (m − 2) · (m − k + 2) (m − k + 1) = (1.1) k!Ở đây ta viết k! = 1 · 2 · 3 · · · (k − 1)k. Đến đây ta có thể viết công thức khai triển nhị thức Newton m m (m − 1) 2 m (m − 1) · · · (m − k + 1) k(1 + x)m = 1 + x+ x + ··· + x 1 2 k! m (m − 1 ...