Tóm tắt luận văn Thạc sĩ Toán học: Phương pháp giải tích biến phân cho bài toán Fermat – Torricelli suy rộng

Luận văn trình bày các kết quả của B. Mordukhovich và N. M. Nam đăng trên tạp chí J. Optim. Theory Appl. 148 (2011), 431-454, giải bài toán Fermat - Torricelli suy rộng cho hữu hạn tập đóng về điều kiện tối ưu cho điểm Fermat - Torricelli suy rộng và từ đó xây dựng thuật toán dưới gradient để xác định điểm Fermat - Torricelli.

Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Tóm tắt luận văn Thạc sĩ Toán học: Phương pháp giải tích biến phân cho bài toán Fermat – Torricelli suy rộng BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC THĂNG LONG NGUYỄN THỊ GIANGPHƯƠNG PHÁP GIẢI TÍCH BIẾN PHÂN CHO BÀI TOÁN FERMAT – TORRICELLI SUY RỘNG TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 8 46 01 13 HÀ NỘI, 2018 Công trình được hoàn thành tại: Trường đại học Thăng Long NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS. ĐỖ VĂN LƯU Phản biện 1: TS. Nguyễn Đạt Đăng Phản biện 2: TS. Nguyễn Công SứLuận văn được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận văn tại: Trường đại học Thăng LongVào hồi 14 giờ 00 ngày 28 tháng 12 năm 2018Mở đầu1. Lí do chọn đề tài Vào đầu thế kỷ 17, nhà toán học Pháp Pierre de Fermat (1601-1665)đã đặt ra toán sau đây: Cho trước ba điểm trên mặt phẳng .Tìm mộtđiểm thứ tư sao cho tổng khoảng cách Euclid từ điểm này tới ba điểmđã cho là nhỏ nhất. Bài toán của Fermat đã được Evangelista Torricelli(1608-1646) giải và từ đó bài toán được gọi là bài toán Fermat - Torricelli. Lời giải của Torricelli cho bài toán Fermat - Torricelli như sau: Nếucác góc trong của tam giác nhỏ hơn 120o thì điểm cần tìm là điểm trongtam giác nhìn các cạnh của tam giác dưới một góc 1200 . Nếu một trongcác góc trong của tam giác không nhỏ hơn 120o thì đỉnh của góc lớn nhấtchính là lời giải của bài toán. Điểm này được gọi là điểm Fermat-Torricelli. Torricelli đã giải bài toán bằng phương pháp hình học như sau (Hình 1):Ba điểm cho trước là A, B, C. Ta dựng các tam giác đều ∆ABD, ∆BCE,∆ACF phía ngoài ∆ABC. Dựng các đường tròn ngoại tiếp các tam giác∆ABD, ∆BCE, ∆ACF . Ba đường tròn này cắt nhau tại điểm P . ĐiểmP là điểm Fermat - Torricelli. 2 Hình 1: Cách dựng điểm Torricelli Vào thế kỷ 19 Jakob Steiner đã mở rộng bài toán này cho một số hữuhạn điểm trên mặt phẳng. N. M. Nam, N. Hoang và N.T. An [5] đã sửdụng dưới vi phân hàm lồi để nghiên cứu bài toán Fermat - Torricelli suyrộng, trong đó các điểm được thay thế bằng các hình cầu Euclid. Nhưvậy, bài toán được xét trong [5] gồm một số hữu hạn tập lồi và công cụsử dụng là dưới vi phân hàm lồi. Luận văn cao học của H.T.T. Linh [2]đã trình bày cách giải bài toán Fermat - Torricelli với hữu hạn hình cầuEuclid bằng công cụ dưới vi phân hàm lồi. Chú ý rằng các hình cầu Euclidlà các tập lồi. B. Mordukhovich và N. M. Nam [3] đã sử dụng dưới vi phân Mor-dukhovich để nghiên cứu bài toán Fermat - Torricelli suy rộng, trong đóthay thế các điểm bằng các tập đóng, bằng phương pháp giải tích biếnphân. Như vậy, bài toán được xét trong [3] gồm hữu hạn tập đóng khôngnhất thiết lồi, công cụ được sử dụng là dưới vi phân Mordukhovich. B.Mordukhovich và N. M. Nam [3] đã nghiên cứu thiết lập các điều kiệntối ưu bài toán Fermat - Torricelli và sử dụng các kết quả đó để xác địnhđiểm Fermat - Torricelli bằng thuật toán dưới gradient. Bài toán Fermat 3- Torricelli giải bằng công cụ giải tích biến phân hiện đại và dưới vi phânMordukhovich là đề tài được nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu trongtoán sơ cấp. Chính vì vậy tôi chọn đề tài Phương pháp giải tích biếnphân cho bài toán Fermat - Torricelli suy rộng2. Nội dung đề tài Luận văn trình bày các kết quả của B. Mordukhovich và N. M. Nam[3] đăng trên tạp chí J. Optim. Theory Appl. 148 (2011), 431-454, giải bàitoán Fermat - Torricelli suy rộng cho hữu hạn tập đóng về điều kiện tốiưu cho điểm Fermat - Torricelli suy rộng và từ đó xây dựng thuật toándưới gradient để xác định điểm Fermat - Torricelli. Luận văn bao gồm phần mở đầu, hai chương, kết luận và danh mục cáctài liệu tham khảo. 4Chương 1Giải tích biến phân Chương 1 trình bày bài toán Fermat - Torricelli suy rộng với hữu hạntập đóng và một số kiến thức cơ bản về giải tích biến phân bao gồmdưới vi phân hàm lồi, -dưới vi phân, dưới vi phân Fréchet, dưới vi phânMordukhovich của hàm thời gian tối thiểu.1.1. Phát biểu bài toán Fermat - Torricelli suy rộng với hữu hạn tập đóng Chúng ta phát biểu bài toán Fermat - Torricelli suy rộng. Xét hàm thờigian tối thiểu (minimal time function): TΩF (x) := inf{t ≥ 0| Ω ∩ (x + tF ) 6= ∅}. (1.1)với hệ động lực x˙ ∈ F được mô tả bởi một tập lồi đóng bị chặn khác rỗng(F 6= ∅) của không gian Banach X, với tập mục tiêu đóng Ω 6= ∅ trongX. Khi F là hình cầu đơn vị đơn vị đóng B của X thì hàm thời gian tốithiểu trở thành hàm khoảng cách thông thường: d(x; Ω) := inf{kx − ωk, ω ∈ Ω} (1.2)sinh bởi chuẩn k · k trong X. Bây giờ ta cho một số bất kỳ các tập đóng Ωi 6= ∅, i = 1, . . . , n, của X. 5Khi đó ...