TRƯỜNG ĐIỆN TỪ - ELECTROMAGNETIC FIELD THEORY - chương 1

Định lí 3. Nếu đã biết một nghiệm riêng y1(x) của phương trình vi phân từ trườngcấp hai thuần nhất (2) thì có thể tìm được một nghiệm riêng y2(x) của phương trìnhđó, độc lập tuyến tính với y1(x) bằng cách đặt y2(x) = y1(x).u(x)
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
TRƯỜNG ĐIỆN TỪ - ELECTROMAGNETIC FIELD THEORY - chương 1 TRƯỜNG ĐIỆN TỪ - ELECTROMAGNETIC FIELD THEORY Chương 0 MỘT SỐ CÔNG THỨC TOÁN HỌC1. Vector r r r a = {a x , a y , a z } = i a x + j a y + ka z r r r r r b = {b x , b y , b z } = i b x + j b y + kb z r r r c = {c x , c y , c z } = i c x + j c y + kc z r rr• a.b = a x b x + a y b y + a z b z r r r i j k r r r r r• a × b = a x a y a z = i (a y b z − a z b y ) + j(a z b x − a x b z ) + k (a x b y − a y b x ) bx by bz rr rr (r ) r• a.b = a b cos a , b r r r• a×b = c Phương: c ⊥ (a, b ) r r r Chiều: theo qui tắc vặn nút chai rr (r ) r r Độ lớn: c = a b sin a , b a × (b × c ) = b.(a.c ) − c.(a.b ) r r r r rr r rr•2. Toán tử nabla ⎧∂ ∂ ∂⎫ ∇=⎨ , , ⎬ ⎩ ∂x ∂y ∂z ⎭3. Gradient r ∂U r ∂U r ∂U gradU = ∇.U = i +j +k ∂x ∂y ∂z4. Divergence r r ∂a ∂a y ∂a z diva = ∇.a = x + + ∂x ∂y ∂z5. Rotary r r r i j k r r ∂ ∂ ∂ r ⎛ ∂a z ∂a y ⎞ r ⎛ ∂a x ∂a z ⎞ r ⎛ ∂a y ∂a x ⎞ rota = ∇ × a = = i⎜ ⎜ ∂y − ∂z ⎟ + j⎜ ∂z − ∂x ⎟ + k ⎜ ∂x − ∂y ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ∂x ∂y ∂z ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ax ay azSố phức Hàm mũ e z = e x +iy = e x (cos y + i sin y ) Hàm mũ là một hàm tuần hoàn có chu kì là 2πi. Thực vậy, ta có e 2 kπi = cos 2kπ + i sin 2kπ = 1 Suy ra e z + 2 kπi = e z .e 2 kπi = e z Công thức Euler eiy = cosy +isiny Khi đó số phức z = r eiϕ = r(cosϕ +isinϕ)Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai Phương trình vi phân từ trường cấp hai là phương trình bậc nhất đối với hàmchưa biết và các đạo hàm của nó: y′′ + a1 y′ + a 2 y = f ( x ) (1) Trong đó: a1, a2 và f(x) là các hàm của biến độc lập x f(x) = 0 ⇒ (1) gọi là phương trình tuyến tính thuần nhất f(x) ≠ 0 ⇒ (1) gọi là phương trình tuyến tính không thuần nhất a1, a2 ≡ const ⇒ (1) gọi là phương trình tuyến tính có hệ số không đổiPhương trình vi phân tuyến tính cấp hai thuần nhất Phương trình vi phân từ trường cấp hai thuần nhất có dạng: y′′ + a1 y′ + a 2 y = 0 (2) a1, a2 là các hàm của biến xĐịnh lí 1. Nếu y1 = y1(x) và y2 = y2(x) là 2 nghiệm của (2) thì y = C1y1 + C2y2(trong đó C1, C2 là 2 hằng số tuỳ ý) cũng là nghiệm của phương trình ấy. y1 (x )Hai hàm y1(x) và y2(x) là độc lập tuyến tính khi ≠ const , ngược lại là phụ y 2 (x )thuộc tuyến tínhĐịnh lí 2. Nếu y1(x) và y2(x) là 2 nghiệm độc lập tuyến tính của phương trình viphân từ trường cấp hai thuần nhất (2) thì y = C1y1 + C2y2 (trong đó C1, C2 là 2 hằngsố tuỳ ý) là nghiệm tổng quát của phương trình ấy.Định lí 3. Nếu đã biết một nghiệm riêng y1(x) của phương trình vi phân từ trườngcấp hai thuần nhất (2) thì có thể tìm được một nghiệm riêng y2(x) của phương trìnhđó, độc lập tuyến tính với y1(x) bằng cách đặt y2(x) = y1(x).u(x)Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai không thuần nhất Phương trình vi phân từ trường cấp hai là phương trình bậc nhất đối với hàmchưa biết và các đạo hàm của nó: y′′ + a 1 y′ + a 2 y = f ( x ) (3) Trong đó: a1 và a2 là các hàm của biến độc lập x; f(x) ≠ 0Định lí 1. Nghiệm tổng quát của phương trình không thuần nhất (3) bằng nghiệmtổng quát của phương trình thuần nhất (2) tương ứng và một nghiệm riêng nào đócủa phương trình không thuần nhất (3).Định lí 2. Cho phương trình không thuần nhất y′′ + a1 y′ + a 2 y = f1 ( x ) + f 2 ( x ) (4) Nếu y1(x) là nghiệm riêng của phương trình ...