Tự ôn toán với các công thức tính đạo hàm giới hạn và vi phân - 1

Bao gồm các công thức dùng trong việc tự ôn luyện về giới hạn hàm số, đạo hàm, vi phân, tích phân ứng dụng trong các dạng toán thường gặp nhất trong các kỳ thi Tốt nghiệp - CĐ - ĐH
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Tự ôn toán với các công thức tính đạo hàm giới hạn và vi phân - 1 2. Giới hạn vô hạn của hàm số: lim f ( x )   x  x0 N > 0 lớn tuỳ ý,  > 0: 0 < x – x0 <   f(x) > Nlim f ( x )  x  x0 N < 0 nhỏ tuỳ ý,  > 0: 0 < x – x0<   f(x) < N Ví dụ: chứng minh 1   lim x a ( x  a ) 2 3. Các tính chất của giới hạn hàm số: Định lý: nếu lim f(x) = L1 và lim g(x) = L2 thì • Lim [f(x) ± g(x)] = L1 ± L2 • Lim [f(x)g(x)] = L1L2 Lim [f(x)/g(x)] = L1/L2 (L2 ≠ 0) • Lim [f(x)]m = L1m (L1m  R) • • Lim C = C • Lim [Cf(x)] = CL1 Ghi chú: Nếu gặp các dạng vô định 0/0, 0.,  - , 1 thì phải biến đổi để khử chúng.Ví dụ: Tìm x2 1 x3  8 sin x b) lim c) lim a) lim 2 x 1 x2 x  3x  x  1 x 1 x2 2Định lý: Giả sử g(x)  f(x)  h(x) đối với mọi x thuộc lân cận của x0. Nếu lim g ( x )  lim h( x)  L  lim f ( x )  L x  x0 x  x0 x  x0Định lý: Trong một quá trình, nếu lim u(x) = L và f là hàm sơ cấp xác định tronglân cận của L, thì lim f[u(x)] = f(L) = f[lim u(x)]Ví dụ: Tìm  x 2  1  lim sin  2  2x  x   x   4. Một số giới hạn đặc xbiệt: ax 1 ln(1  x )  1 1 lim  ln a lim 1    e lim x x 0 x  x x 0 sin x x  lim 1  x  1/ x e 1 lim x 0 x x 0Ví dụ: Chứng minh: arctgx tgx arcsin x 1 lim 1lim 1 lim x x0x0 x x x0Ví dụ: Tìm: x3 x  x 2 3 x  lim  lim    x  x  1 x x   5. So sánh vô cùng béĐịnh nghĩa: Hàm số f(x) được gọi là vô cùng bé trong một quá trình nếu limf(x) =0Định nghĩa: Cho f(x), g(x) là hai VCB trong một quá trình: Nếu lim[f(x)/g(x)] = 0, f(x) là VCB bậc cao hơn g(x) • Nếu lim[f(x)/g(x)] = , f(x) là VCB bậc thấp hơn g(x) • Nếu lim[f(x)/g(x)] = A, f(x), g(x) là hai VCB cùng bậc • Nếu lim[f(x)/g(x)] = 1, f(x), g(x) là hai VCB tương đương. Ký hiệu • f(x)~g(x) Nếu lim[f(x)/g(x)] không tồn tại, ta nói f(x), g(x) là hai VCB không so • sánh đượcĐịnh lý: Nếu f(x), g(x) là hai VCB, Nếu f(x)~f1(x), g(x)~g1(x) thì lim[f(x)/g(x)] =lim[f1(x)/g1(x)]Định lý (qui tắc ngắt bỏ VCB bậc cao): Nếu g(x) là VCB bậc cao hơn f(x) trongcùng quá trình thìf(x) + g(x) ~ f(x)Ví dụ: Chứng minh sin 2 x  arcsin 2 x  arctg 2 x 2  lim 3x 3 x 0sin x x ~ x 2  x 3 Khi x 06. So sánh vô cùng lớn:Định nghĩa: Hàm số F(x) gọi là một vô cùng lớn trong một quá trình nếu lim F(x)= Trong cùng quá trình, nếu f(x) là CVB thì 1/f(x) là VCL • Ngược lại, F(x) là VCL thì 1/F(x) là VCB •Định nghĩa: Cho F(x), G(x) là hai VCL trong một quá trình: Nếu lim[F(x)/G(x)] = , F(x) là VCL bậc cao hơn G(x) • Nếu lim[F(x)/G(x)] = 0, F(x) là VCL bậc thấp hơn G(x) • Nếu lim[F(x)/G(x)] = A (A ≠ 0, A ≠ ), ta nói F(x), G(x) là hai VCL cùng • ...