Tự ôn toán với các công thức tính đạo hàm giới hạn và vi phân - 2

Tham khảo tài liệu tự ôn toán với các công thức tính đạo hàm giới hạn và vi phân - 2, tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Tự ôn toán với các công thức tính đạo hàm giới hạn và vi phân - 2 y y  lim x  0  xĐạo hàm bên trái: Hàm số f(x) có đạo hàm trên khoảng (a,b) nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm- trong khoảng đó, f(x) có đạo hàm trên đoạn [a,b] nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm trong khoảng- (a,b), có đạo hàm phải tại a và đạo hàm trái tại bVí dụ: Tìm đạo hàm của y = x2, y = sinxĐạo hàm của tổng thương tích của hai hàm số: Nếu các hàm số u, v có đạo hàm tại x thì: u + v cũng có đạo hàm tại x và (u + v)’ = u’ + v’ • u.v cũng có đạo hàm tại x và (u.v)’ = u’v + v’u •  u  u v  v u   v2 v u/v cũng có đạo hàm tại xV(x)0 và  •Đạo hàm của hàm số hợp:Nếu hàm số u = u(x) có đạo hàm theo x, hàm y = f(u) có đạo hàm tương ứng u =u(x) thì hàm số hợp f(u) có đạo hàm theo x và y’(x) = y’(u).u’(x).Đạo hàm của hàm số ngược: Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x, f’(x) ≠ 0 và có hàm số ngược x = f-1 (y) thì hàm số x = f-1(y) có đạo hàm tại y = f(x): 1 1( f 1 ) ( y )   f ( x) f [ f 1 ( y )]Ví dụ, tìm đạoA hàm của y = arcsinxĐạo hàm các hàm số sơ cấp cơ bản:(c)’ = 0 1 1 (log a x)  (ln x)  x ln a x(x)’ = x-1(ax)’ = axlna 1 1 (arccos x)   (arcsin x)  1  x2 1 x2(ex)’ = ex(sinx)’ = cosx 1 1 (cot gx )   (arctgx )  sin 2 x 1 x2(cosx)’ = -sinx 1 1(tgx )  (arc cot gx)   cos2 x 1  x2Đạo hàm cấp cao : Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm thì y’ = f’(x) gọi là đạo hàm cấp 1. Đạohàm, nếu có, của đạo hàm cấp 1 gọi là đạo hàm cấp 2. Ký hiệu: y’’(x), f’’(x) d2y d2 f , dx 2 dx 2Tương tự, đạo hàm của đạo hàm cấp (n-1) là đạo hàm cấp n. Ký hiệu: f(n)(x),y(n)(x). dny dn f , dx n dx nVí dụ: Cho y = x (  R, x > 0), y = kex, tìm y(n)Công thức Leibniz:Giả sử hàm số u, v có đạo hàm liên tiếp đến n. Khi đó ta có: (u + v)(n) = u(n) + v(n) n(uv)( n )   Cn u ( n k ) .v k k k 0 trong đó u(0) = u, v(0) = v 2. VI PHÂNĐịnh nghĩa: Cho hàm số y = f(x) khả vi, ta ký hiệu dy = y’dx (df = f’dx) được gọi  u  vdu  udv d  là vi phân cấp 1 của hàm số f. v2 vVi phân của tổng, tích, thương: d(u + v) = du + dv d(u.v) = vdu + udvĐịnh nghĩa: Cho hàm số y = f(x) và f(n-1) khả vi, ta ký hiệu d(n)y = y(n)dxn(d(n)f = f(n)dx) được gọi là vi phân cấp n của hàm số f. 3. CÁC ĐỊNH LÝ VỀ ĐẠO HÀMĐịnh lý Rolle: Nếu f là hàm số liên tục trên [a,b], khả vi trong (a,b) và f(a) = f(b)thì tồn tại c  (a,b) sao cho f’(c) = 0.Định lý Lagrange: Nếu f là hàm số liên tục trên [a,b], khả vi trong (a,b) thì tồn tạic  (a,b) sao cho f (b)  f (a )  f (c ) baNhận xét: Định lý Rolle là một trường hợp đặc biệt của định lý Lagrange trongtrường hợp f(b) = f(a).Định lý Cauchy: Nếu f , g cùng liên tục trên [a,b], khả vi trong khoảng (a,b) vàg’(x) ≠ 0, x  (a,b) thì tồn tại c  (a,b) sao cho f (b)  f (a ) f (c)  g (b)  g (a ) g (c)Nhận xét: Định lý Lagrange là một trường hợp đặc biệt của định lý Cauchy trongtrường hợp g(x) = ...