Tự ôn toán với các công thức tính đạo hàm giới hạn và vi phân - 3

Tham khảo tài liệu tự ôn toán với các công thức tính đạo hàm giới hạn và vi phân - 3, tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Tự ôn toán với các công thức tính đạo hàm giới hạn và vi phân - 3 CỰC TRỊĐịnh nghĩa: Hàm số f được gọi là đạt cực đại (cực tiểu) tại x0 nếu tồn tại một lâncận của x0 sao cho f(x)  f(x0) (f(x)  f(x0)).Chiều biến thiên của hàm số:Định lý: Cho f khả vi trong (a,b):1. Nếu f’(x) > 0 với mọi x  (a,b) thì f tăng.2. Nếu f’(x) < 0 với mọi x  (a,b) thì f giảm.Điều kiện cần của cực trị:Định lý Fermat: Nếu hàm số đạt cực trị tại điểm x = x0 và có đạo hàm tại điểm đóthì f’(x0) = 0.Ví dụ: Hàm số y = x3, f’(0) = 0 nhưng tại x = 0 hàm số không đạt cực trị. Hàm số y = x đạt cực tiểu tại x = 0 nhưng f’(0) không tồn tại.Định nghĩa: Các điểm thoả một trong các điều kiện sau thì được gọi chung làđiểm tới hạn của f: a) Không tồn tại f’(x) b) f’(x) = 0Định nghĩa: Các điểm thoả điều kiện sau f’(x) = 0 được gọi là điểm dừng của f.Điều kiện đủ của cực trị:Định lý: Giả sử f khả vi trong (a,b) chứa điểm x0 a) Nếu x vượt qua x0 mà f’(x) đổi dấu từ dương sang âm thì f(x) đạt cực đạitại x0. b) Nếu x vượt qua x0 mà f’(x) đổi dấu từ âm sang dương thì f(x) đạt cực tiểutại x0. c) Nếu x vượt qua x0 mà f’(x) không đổi dấu thì f(x) không đạt cực trị tại x0.Định lý: Giả sử f(x) có đạo hàm cấp 2 liên tục ở lân cận điểm x0 và f’(x) = 0. a) Nếu f”(x0) > 0 thì f(x) đạt cực tiểu. b) Nếu f”(x0) < 0 thì f(x) đạt cực đại.Giá trị lớn nhất bé nhất của hàm số trên một đoạn:1. Tính giá của f tại các điểm tới hạn và tại điểm hai đầu mút.2. Giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) trong các giá trị đ ược tính trên là giá trị lớn nhất (nhỏnhất cần tìm).Ví dụ: tìm giá trị lớn nhất và bé nhất của hàm số: f(x) = x3 – 3x2 +1 trên đoạn [-1/2, 4]Biến kinh tế: Sản lượng Q Quantity Lượng cung QS Quantity Supplied Lượng cầu QD Quantity Demanded Giá cả P Price C Cost Chi phí Tổng chi phí TC Total Cost R Revenue Doanh thu Tổng doanh thu TR Total Revenue Lợi nhuận Pr Profit Tư bản K Capital Lao động L Labour Định phí FC Fix Cost Biến phí VC Variable CostHàm số kinh tế: Hàm sản xuất • : Q = f(K,L) • Hàm doanh thu : TR = PQ • Hàm chi phí : TC = f(Q) Hàm lợi nhuận :  = TR - TC •Ví dụ: Một quán bún bình dân, hãy tính mỗi ngày bán bao nhiêu tô thì có lời vớigiá bán 5.000đ/tô và chi phí như sau: Thuê mặt bằng, 50.000đ/ngày điện nước 300đ/tô Bún Gia vị 200đ/tô Thịt bò, heo 2.000đ/tô 500đ/tô Nhân viênÝ nghĩa đạo hàm trong kinh tế: Sản lượng biên MQ: (Marginal quantity) Đo lường sự thay đổi của sản • lượng khi tăng lao động hay vốn lên một đơn vị. Q5 L Ví dụ: Hãy tìm sản lượng biên của một doanh nghiệp và cho nhận xét khi • L=100 cho bởi hàm sản xuất sau: • Chi phí biên MC: (Marginal Cost)Hàm chi phí: TC = TC(Q)MC là đại lượng đo lường sự thay đổi của chi phí khi sản lượng tăng lên một đơnvị. Ví dụ: Tìm MC và MC là bao nhiêu khi Q = 50 và cho nhận xét. •TC = 0,0001Q3 – 0,02Q2 + 5Q + 100 • Doanh thu biên MR: (Marginal Revenue)Hàm doanh thu: TR = PQ Nếu: Q do thị trường quyết định, giá do doanh nghiệp quyết định th ì MR là • đại lượng đo lường sự thay đổi của doanh thu khi sản l ượng tăng thêm 1 đơn vị. Nếu: Q do doanh nghiệp quyết định, giá do thị trường quyết định thì MR là • đại lượng đo lường sự thay đổi của doanh thu khi giá tăng thêm 1 đơn vị. Ví dụ: Một sản phẩm trên thị trường có hàm cầu là: •Q = 1.000 – 14PTìm MR khi p = 40 và p = 30 • Lợi nhuận biên MP: (Marginal Profit)Hàm lợi nhuận:  = TR – TC = PQ – (FC + VC(Q))Lợi nhuận biên là đại lượng đo lường sự thay đổi của lợi nhuận khi giá hay sảnlượng tăng thêm 1 đơn vị • Tối đa hóa lợi nhuận: Hàm chi phí: TC = TC(x) Hàm cầu: x = QD = f(P) Giả sử thị trường độc quyền: Hàm lợi nhuận:  = TR – TC = Px – TC(x)  d  d (TR  TC )  dx  0 ...