Tuyền tập một số bài Toán thi học sinh giỏi về dãy số

Cùng tham khảo tuyển tập một số bài Toán thi học sinh giỏi môn Toán về dãy số giúp các em ôn tập lại các kiến thức đã học, đánh giá năng lực làm bài của mình và chuẩn bị kì thi được tốt hơn với số điểm cao như mong muốn.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Tuyền tập một số bài Toán thi học sinh giỏi về dãy số Gv: NguyÔn NhuËn Trêng THPT Yªn Thµnh 3 TuyÓn tËp mét sè bµi to¸n d·y sè thi hsgBµi1) TÝnh tæng: S  1  3 5  3  ...  2n  1  ... 2 22 2 2ngi¶i: 1 3 5 2n  1 3 5 7 2n  1§Æt Sn   2  3  ...  n  2Sn  1   2  3  ...  n 1  2 2 2 2 2 2 2 2  1  1.1  n 1  1 1 1 2n  1 2  2n  1 2n  3Sn  1  1   2  ...  n 2  1   3 . 2 2 2 2n 1 1 2n 2n 2VËy S = lim Sn  3 . n  7 10 13Bµi 2) Cho d·y (un) víi u 1  ; u 2  ; u 3  ;... Chøng minh r»ng khi n  d·y cã giíi 3 5 7 3h¹n lµ . 2Gi¶i. Mçi sè h¹ng cña d·y lµ mét ph©n thøc, c¸c mÉu thøc lËp thµnh CSC cã u1 = 3, d = 2  sè h¹ngtæng qu¸t wn = 3 + (n – 1).2 = 2n + 1, n = 1, 2, … c¸c tö thøc lËp thµnh CSC cã u1 = 7, d = 3 sè h¹ng tæng qu¸t vn = 7 + (n – 1).3 = 3n + 4, n = 1, 2, … v 3n  4 3n  4 3VËy u n  n  , n = 1, 2, … Limu n  lim  . w n 2n  1 2n  1 2Bµi 3. Cho CSC a1, a2, … vµ CSN b1, b2, … tháa m·n:a1 = b1; a1 + a2 = 2b2; a1 + a2 + a3 = b1 + b2 + b3. T×m 2 cÊp sè ®ã.Gi¶i. gt  a1 = b1; a2 = 2b2 – b1; a3 = b1 – b2 + b3 vµ a1 + a3 = 2a2 nªn 2b1 – b2 + b3 = 4b2 – 2b1 4b1 – 5b2 + b3 = 0 (*).MÆt kh¸c: b1, b2, … lµ CSN nªn b2 = qb1, b3 = q2b1, thay vµo (*) b1(q2 – 5q + 4) = 0  b1 = 0  q = 1  q = 4. Tõ ®ã t×m ®îc c¸c cÊp sè lµ:CSC: b1, b1, …; CSN: b1, b1, … HoÆc CSC: b1, 7b1, 13b1,…; CSN: b1, 4b1, 16b1,…Bµi 4. Cho 2 d·y sè (un) vµ (vn) tháa m·n: 1 2u n v nu1 = 1995, v1 = 1997, u n 1  (u n  v n ), v n 1  , n = 1, 2, … 2 u n  vn Gv: NguyÔn NhuËn Trêng THPT Yªn Thµnh 3 n 22Chøng minh r»ng: u n 1  v n 1  n , n  1. 2Gi¶i. gt  un > 0, vn > 0 n = 1, 2, … 1 2u n v n (u n  v n ) 2Ta cã: un + 1 – vn + 1 = (u n  v n )    0 , n = 1, 2, … 2 u n  v n 2(u n  v n ) u  vn un + 1 > vn + 1 , n = 1, 2, …  0  n  1 , n = 2, 3,… 2(u n  v n ) (u n  v n ) 2  u n  v n , n = 2, 3,… 2(u n  v n ) ( u 1  v1 ) 2 4 1 un + 1 – vn + 1 < un – vn < … < u2 – v2 =    1. 2(u 1  v1 ) 2(1995  1997 ) 1996 n 22MÆt kh¸c, dÔ thÊy n  1 . Tõ ®ã suy ra ®.p.c.m. 2Bµi5. Cho d·y sè (un) tháa m·n:u0 = 2, u1 = 6, un + 1 = 6un + 2un – 1, n  1.T×m c«ng thøc tÝnh un theo n.Gi¶iPh¬ng tr×nh ®Æc trng cña d·y sè lµ: x2 = 6x + 2 cã 2 nghiÖm ph©n biÖt :x 1  3  11, x 2  3  11 . Ta chøng minh:u n  (3  11) n  (3  11) n , n = 0, 1, 2, …ThËy vËy: Víi n = 0: u 0  (3  11) 0  (3  11) 0  2 ®óngVíi n = 1: u 1  (3  11)1  (3  11)1  6 ®óng.n  1, ta cã:6un + 2un – 1 = 6(3  11) n  6(3  11) n  2(3  11) n 1  2(3  11) n 1 == (3  11) n 1 (20  6 11)  (3  11) n 1 (20  6 11) == (3  11) n 1  (3  11) n 1  u n 1 (®.p.c.m).Bµi 6. D·y sè (un) ®îc x¸c ®Þnh nh sau: a) u1 = a; u2 = b (a, b  R, a < b) 1 b) u n  (u n 1  u n 2 ) . 2Chøng tá r»ng tån t¹i giíi h¹n cña d·y vµ t×m giíi h¹n ®ã theo a, b.Gi¶i. Gv: NguyÔn NhuËn Trêng THPT Yªn Thµnh 3 1 1u n  (u n 1  u n 2 )  u n  u n 1   (u n 1  u n 2 ) (1). 2 2§Æt vn – 1 = un – un –1 , n  2  v1 = u2 – u1 = b – a. 1 1Tõ (1)  v n 1   v n 2  (vn) lµ CSN cã c«ng béi q   . Do ®ã: 2 2 n 1 n 1  1  1v n  v1     (b  a )   .  2  2Ta cã: un = (un – un – 1) + (un - 1 – un – 2) + … + (u2 – u1) + u1 =   1  n 1  1      n 1= vn – 1 + vn – 2 + … + v1 + u1 = v1   2    u  2b  a  2 (b  a )  1  . 1     1  3 3  2  1  2       n 1V× lim  1     0 nª n lim u n  2b  a .  2 3 ...