ứng dụng của công nghệ CAD/CAM/CAF trong việc thiết kế, đánh giá và chế tạo chi tiết, chương 7

Rời rạc hóa miền khảo sát Trong bước này miền khảo sát V được chia thành các miền con Ve hay thành các phần tử có dạng hình học thích hợp. Với các bài toán cụ thể số phần tử, hình dạng hình học của phần tử cũng như kích thước các phần tử được xác định rõ. Số điểm nút của mỗi phần tử không lấy được một cách tùy tiện mà tùy thuộc vào hàm xấp xỉ định chọn Bước 2 : Chọn hàm xấp xỉ thích hợp Vì đại lượng cần tìm chưa biết, nên ta giả...
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
ứng dụng của công nghệ CAD/CAM/CAF trong việc thiết kế, đánh giá và chế tạo chi tiết, chương 7Chương 7: Trình tự phân tích bài toántheo phương pháp phần tử hữu hạnBước 1 : Rời rạc hóa miền khảo sát Trong bước này miền khảo sát V được chia thành các miền conVe hay thành các phần tử có dạng hình học thích hợp. Với các bài toán cụ thể số phần tử, hình dạng hình học củaphần tử cũng như kích thước các phần tử được xác định rõ. Sốđiểm nút của mỗi phần tử không lấy được một cách tùy tiện mà tùythuộc vào hàm xấp xỉ định chọnBước 2 : Chọn hàm xấp xỉ thích hợp Vì đại lượng cần tìm chưa biết, nên ta giả thiết dạng xấp xỉ củanó sao cho đơn giản đối với tính toán bằng máy tính nhưng phảithỏa mãn các tiêu chuẩn hội tụ và thường chọn ở dạng đa thức. Rồi biểu diễn hàm xấp xỉ theo tập hợp giá trị và có thể cả cácđạo hàm của nó tại các nút của phần tử {qe}.Bước 3: Xây dựng phương trình phần tử hay thiết lập ma trận độcứng phần tử [Ke] và vectơ tải phần tử {Pe} Có nhiều cách thiết lập: trực tiếp hoặc sử dụng nguyên lý biếnphân, hoặc các phương pháp biến phân… Kết quả nhận được có thể biểu diễn một cách hình thức như mộtphương trình phần tử: [Ke] .{qe} = {Pe}Bước 4: Ghép nối các phần tử trên mô hình tương thức mà kết quảlà hệ thống phương trình [Ke] .{qe} = {Pe} Trong đó: [Ke]: Ma trận độ cứng tổng thể (hay ma trận hệ số toàn miền) {qe}: Vectơ tập hợp các giá trị đại lượng cần tìm tại các nút (còngọi là vectơ chuyển vị nút tổng thể) {Pe}: Vectơ các số hạng tự do tổng thể (hay vectơ tải tổng thể ) Rồi sử dụng điều kiện biên của bài toán, mà kết quả nhận đượclà hệ phương trình sau: [K*] .{q*} = {P*} Đây chính là phương trình hệ thống hay còn gọi là hệ phươngtrình để giảiBước 5: Giải phương trình đại số [K*] .{q*} = {P*} Với bài toán tuyến tính việc giải hệ phương trình đại số là khôngkhó khăn. Kết quả là tìm được chuyển vị của các nút. Nhưng với bài toán phi tuyến thì nghiệm sẽ đạt được sau mộtchuỗi các bước lặp mà sau mỗi bước ma trận cứng [Ke] thay đổi(trong bài toán phi tuyến vật lý) hay vectơ lực nút {Pe} thay đổi (trongbài toán phi tuyến hình học).2.3.2 Hàm xấp xỉ - phép nội suy1. Hàm xấp xỉ Một trong những tư tưởng cơ bản của phần tử hữu hạn là xấp xỉđại lượng cần tìm trong mỗi miền con – phần tử Ve. Điều này chophép khả năng thay thế việc tìm nghiệm vốn phức tạp trên toànmiền V bằng việc tìm nghiệm trong phạm vi mỗi phần tử ở dạnghàm xấp xỉ đơn giản. Vì vậy, bước quan trọng đầu tiên cần nói đếnlà việc chọn hàm đơn giản mô tả gần đúng đại lượng cần tìm trongphạm vi mỗi phần tử. Hàm đơn giản thường được chọn ở dạng đathức vì 3 lí do sau: + Đa thức khi được xem như tổ hợp tuyến tính của các đơn thứcthì tập hợp các đơn thức thỏa mãn yêu cầu độc lập tuyến tính nhưyêu cầu của Rits, Galerkin. + Hàm xấp xỉ ở dạng đa thức thường dễ tính toán, dễ thiết lậpcông thức khi xây dựng các phương trình của phương pháp phầntử hữu hạn và tính toán bằng máy tính. Đặc biệt dễ đạo hàm, tíchphân. + Có khả năng tăng độ chính xác bằng cách tăng số bậc của đathức xấp xỉ (Về mặt lý thuyết thì đa thức bậc vô cùng sẽ chonghiệm chính xác). Tuy nhiên trong thực tế ta cũng chỉ thấy các đathức xấp xỉ bậc thấp mà thôi. Chú ý là các hàm đa thức xấp xỉ ởdạng lượng giác cũng có tính chất và ưu điểm như trên nhưng ítdùng.2. Phép nội suy Trong phương pháp phần tử hữu hạn các hệ số của hàm xấp xỉdạng đa thức được biểu diễn qua chính các giá trị của nó (hoặc cảgiá trị đạo hàm) tại một điểm nút được định trước trên phần tử. Nói cách khác là hàm xấp xỉ được nội suy theo các giá trị (hoặccác đạo hàm) của nó tại các nút phần tử. Kết quả là, trong phạm vimỗi phần tử đại lượng cần tìm là hàm bất kì sẽ được xấp xỉ hóabằng một đa thức nội suy qua các giá trị (hoặc cả đạo hàm) củachính nó tại điểm nút của phần tử. Hình 2.1 Dạng nội suy của các hàm xấp xỉ theo phương phápLagrange Các hàm đa thức bất kì được biểu diễn bằng hàm xấp xỉ bằngcác đa thức bậc 0, bậc 1, bậc 2 theo các giá trị (chỉ theo các giá trị)của hàm tại các điểm định trước (điểm nút). Phép xấp xỉ này đượcgọi là phép nội suy Lagrange. Nội suy Hecmit: Khác với phép nội suy Lagrange, nội suyHecmit là phép xấp xỉ theo giá trị và cả đạo hàm từ bậc 1 nào đótại điểm cơ sở. Hình 2.2. Hàm nội suy Hecmit3. Chọn bậc đa thức xấp xỉ (hay hàm xấp xỉ ) Khi chọn bậc của đa thức xấp xỉ cần xét tới những yêu cầu sau: Các đa thức xấp xỉ phải thỏa mãn điều kiện hội tụ: Đây là mộtyêu cầu quan trọng vì phương pháp phần tử hữu hạn là phươngpháp số và do đó phải đảm bảo được rằng khi kích thước phần tửgiảm đi thì kết quả sẽ hội tụ đến nghiệm chính xác. Muốn vậy đathức xấp xỉ ue phải thỏa mãn 3 điều kiện sau:  Liên tục trong phần tử Ve  Bảo đảm tồn tại trong phần tử trong trạng thái đơn vị ( hằngsố ) và các đạo hàm riêng của nó đến bậc cao nhất ...