ứng dụng của công nghệ CAD/CAM/CAF trong việc thiết kế, đánh giá và chế tạo chi tiết, chương 8

Biểu diễn đa thức xấp xỉ theo vectơ các bậc tự do của phần tử. Ma trận các hàm dạng Bậc tự do của một nút (Nodal Degree Of Freedom) là các giá trị (có thể cần cả giá trị đạo hàm) của hàm (hay đa thức) xấp xỉ tại nút. Tập hợp tất cả các bậc tự do của các nút trên phân tử được gọi là vectơ các bậc tự do của phần tử, ký hiệu là { q}e. Hay trong vật rắn thường gọi là vectơ chuyển vị nút phần tử. Và các bậc tự do này (hay các...
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
ứng dụng của công nghệ CAD/CAM/CAF trong việc thiết kế, đánh giá và chế tạo chi tiết, chương 8 Chương 8: Biểu diễn đa thức xấp xỉ theo vectơ các bậc tự do của phần tử. Ma trận các hàm dạng Bậc tự do của một nút (Nodal Degree Of Freedom) là các giá trị (có thể cần cả giá trị đạo hàm) của hàm (hay đa thức) xấp xỉ tại nút. Tập hợp tất cả các bậc tự do của các nút trên phân tử được gọi là vectơ các bậc tự do của phần tử, ký hiệu là { q}e. Hay trong vật rắn thường gọi là vectơ chuyển vị nút phần tử. Và các bậc tự do này (hay các chuyển vị nút) là ẩn số của bài toán khi phân tích theo Phương pháp phần tử hữu hạn: q  u , v , u , v , u , v  T i i j j k k e   q1 , q2, q3 , q4, q5 , q6  T e Tóm lại: Nếu phần tử e có r nút và mỗi nút có s bậc tự do thì vectơ chuyển vị nút phần tử {q}e có số thành phần ne = s x r Trong phần tử hữu hạn các đa thức xấp xỉ được biểu diễn theo vectơ các bậc tự do phần tử {q}e hay người ta nói rằng các đa thức này được nội suy theo {q}e .  q3  q    Khi đó ta có: q2   4 q4   q5    (2.2) Điều này dễ thực hiện được bằng cách thay tọa độ các nút vào các đa thức xấp xỉ rồi thực hiện đồng nhất, cụ thể: (2.3) Trong đó: [A] là ma trận vuông (ne x ne) và chỉ chứa tọa độ các điểm nút phần tử. a   A q ' 1 e (2.4) u( x, y, z )   P( x, y, z)a  P( x, y, z A q 1 e u( x, y, z )   N q e e (2.5) Với :  N    P( x, y, z ) A1 (2.6) và được gọi là ma trận các hàm nội suy, hay các ma trận hàm dạng Ví dụ: Tìm ma trận hàm dạng của phần tử lăng trụ chịu kéo – nén dọc trục (hình dưới) Mọi điểm chỉ tồn tại chuyển vị và biến dạng dọc trục, cụ thể là u(x) và єx 2 1 N2 1  du  U  2  L EJ dx  2  E J  dx  dx L   Nên đa thức xấp xỉ u(x) đòi hỏixấp xỉ tuyến tính: U(x) = a1 + a2x (0 ≤ x ≤ L ) a1    1 x      P( x)a  a2   Do {a}chỉ có 2 tham số chuyển vị nút {q}e của phần tử cũng chỉ có 2 bậc tự do: đó là chuyển vị dọc trục x của 2 điểm nút đầu và cuối của phần tử. Hay ta có vectơ chuyển vị nút phần tử như sau: q  q , q   u , u  T T e 1 2 e 1 2 e Điều này cũng phù hợp với yêu cầu đảm bảo tương thích về biến dạng của bài toán kết cấu đang xét. Thực hiện đồng nhất phương trình 2.2 ta có: Vậy:  P(x1)  1 0  A       P(x2 ) 1 L   1 0 A    1 1  1      L L Theo (2.5) ta có các ma trận hàm dạng: 1 0  x   N e   P( x). A  1 1    1    1    L    L L   N1 ( x) N 2 ( x) (2.6) Cuối cùng ta có thể biểu diễn đa thức xấp xỉ chuyển vị dọc trục theo các chuyển vị nút phần tử:  x  x  q1   u ( x)   N qe  1        L  L  q2 e  2  x x Hay u ( x)   N i ( x)qi  1   q1  q2 i 1  L L Các hàm Ni(x) trong 2.6 còn có tên là các hàm nội suy Lagrange bậc1 có đồ thị như trên. 2.4 Ứng dụng phương pháp phần tử hữu hạn trong thực tế. Với sự hỗ trợ của máy tính điện tử, phương pháp phần tử hữu hạn đang được sử dụng rộng rãi và có hiệu quả trong nhiều lĩnh vực như lí thuyết đàn hồi và dẻo, cơ học chất lỏng, cơ học vật rắn, cơ học thiên thể, khí tượng thuỷ văn, vv… Phương pháp Phần tử hữu hạn thường được dùng trong các bài toán Cơ học (cơ học kết cấu, cơ học môi trường liên tục) để xác ...