Ứng dụng của Đại số vào việc chứng minh và phát hiện ra các bđt trong tam giác

Tài liệu về những ứng dụng của đại số vào việc chứng minh và phát hiện ra các BĐT trong tam giác .
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Ứng dụng của Đại số vào việc chứng minh và phát hiện ra các bđt trong tam giác  πChúng ta ñi t bài toán ñ i s sau: V i ∀x ∈  0,  ta luôn có :  2 x x 2x < tg < < sin x < x 2 2 π Ch ng minh: 2x x 2x Ta ch ng ming 2 bñt: sin x > và tg < π 2 π 1  π xcos x- sin x - ð t f ( x) = sin x là hàm s xác ñ nh và liên t c trong  0,  . Ta có: f , ( x) = . x  2 x2  π ð t g ( x) = xcos x- sin x trong  0,  khi ñó g , ( x ) = − x sin x ≤ 0 ⇒ g ( x ) ngh ch bi n trong ñ an  2  π  π ,  π π  2 0, 2  nên g ( x ) < g ( 0 ) =0 v i x ∈  0, 2  .Do ñó f ( x ) 〈0 v i ∀x ∈  0, 2  suy ra f ( x ) > f  2  = π         2x  πhay sin x > v i ∀x ∈  0,  π  2 1  π x − sin x  π - ð t h ( x ) = tgx xác ñ nh và liên t c trên  0,  .Ta có h, ( x ) = > 0 ∀x ∈  0,  x  2 2 x 2 cos 2 x  2 2  x π x 2x  πnên hàm s h ( x ) ñ ng bi n, do ñó h ( x ) < h   = hay tg < v i ∀x ∈  0,  2 2 2 π  2 x xCòn 2 bñt tg > và sin x < x dành cho b n ñ c t ch ng minh. 2 2 Bây gi m i là ph n ñáng chú y Xét ∆ABC : BC = a , BC = b , AC = b . G i A, B, C là ñ l n các góc b ng radian; r, R, p, S l nlư t là bán kính ñư ng tròn n i ti p, bán kính ñư ng tròn ngo i ti p, n a chu vi và di n tích tam giác;la, ha, ma, ra, tương ng là ñ dài ñư ng phân giác, ñư ng cao, ñư ng trung tuy n và bán kính ñư ngtròn bàng ti p ng v i ñ nh A... Bài toán 1: Ch ng minh r ng: Trong tam giác ABC nh n ta luôn có : pπ p < Acos 2 x + Bcos 2 B + Ccos 2C < 4R R p Nh n xét :T ñ nh lí hàm s sin quen thu c trong tam giác ta có : sin A + sin B + sin B = và bài R A 4toán ñ i s ta d dàng ñưa ra bi n ñ i sau Acos 2 A < 2tg cos 2 A = sin A < Acos 2 A , t ñó ñưa ñ n 2 πl i gi i như sau. A 4 L i gi i: Ta có Acos 2 A < 2tg cos 2 A = sin A < Acos 2 A 2 π p 4 p pπ ⇒ ∑ Acos 2 A < ∑ sin A = và ∑ Acos 2 A > ∑ sin A = ⇒ ∑ Acos 2 A > R π R 4R T ñây suy ra ñpcm. A B B C C A x 2x Trong m t tam giác ta có nh n xét sau : tg tg + tg tg + tg tg = 1 k t h p v i tg < 2 2 2 2 2 2 2 π 2 A 2 B 2 B 2C 2C 2 A A B B C C A π2nên ta có + + > tg tg + tg tg + tg tg = 1 ⇒ A.B + B.C + C. A > (1). π π π π π π 2 2 2 2 2 2 4 x x AB BC C A A B B C C AM t khác tg > nên ta cũng d dàng có + + < tg tg + tg tg + tg tg = 1 t 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2ñây ta l i có A.B + B.C + C. A < 4 (2). T (1) và (2) ta có bài toán m i. Bài toán 2:Cmr: Trong tam giác ABC nh n ta luôn có : π2 < A.B + B.C + C. A < 4 4 Lưu y: Khi dùng cách này ñ sáng t o bài toán m i thì ñ toán là ∆ABC ph i là nh n vì trong bài  πtoán ñ i s thì ∀x ∈  0,  .L i gi i bài toán tương t như nh n xét trên. Nhưng b a sau ñem vào  2 2l p ñ Tú thì tú tr l i th t là “s c”: áp d ng bñt ab + bc + ca ≤ ...