Ứng dụng đạo hàm vào giải một số bài toán phương trình-hệ phương trình

Ở bậc Trung học phổ thông, học sinh được làm quen với phương trình, hệ phương trình và mộtsố phương pháp giải như: Biến đổi tương đương, dùng ẩn phụ, phương pháp hình học...Tuynhiên, những năm gần đây trong các đề thi vào đại học phương trình và hệ phương trình đượckhai thác nhiều hơn dưới quan điểm hàm số, hệ thống bài tập thuộc dạng này ít được đề cập ởsách giáo khoa. Do vậy, trong bài viết này chúng tôi đưa một số ví dụ mẫu và việc vận dụng đạohàm vào giải một số bài toán về...
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Ứng dụng đạo hàm vào giải một số bài toán phương trình-hệ phương trình ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM VÀO GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN PHƯƠNG TRÌNH- HỆ PHƯƠNG TRÌNH ThS. Nguyễn Kiếm Ở bậc Trung học phổ thông, học sinh được làm quen với phương trình, hệ phương trình và mộtsố phương pháp giải như: Biến đổi tương đương, dùng ẩn phụ, phương pháp hình học...Tuynhiên, những năm gần đây trong các đề thi vào đại học phương trình và hệ phương trình đượckhai thác nhiều hơn dưới quan điểm hàm số, hệ thống bài tập thuộc dạng này ít được đề cập ởsách giáo khoa. Do vậy, trong bài viết này chúng tôi đưa một số ví dụ mẫu và việc vận dụng đạohàm vào giải một số bài toán về phương trình, hệ phương trình. 1. Một số kiến thức cơ bản về hàm số và đạo hàm. 1.1. Ánh xạ và tính chất đơn ánh của ánh xạ. Định nghĩa 1. Cho hai tập hợp A và B. Một ánh xạ f từ A vào B là một quy tắc liên hệgiữa A và B sao cho mỗi phần tử a ∈ A có duy nhất một phần tử kí hiệu f ( a ) ∈ B . Phần tử ( )f a ∈ B được gọi là giá trị của f tại a. Định nghĩa 2. Khi A, B là hai tập con của tập số thực R thì ánh xạ f từ A vào B gọi làhàm số f : A → B với x ∈ A  f ( x ) ∈ B Định nghĩa 3. Ánh xạ f : A → B được gọi là đơn ánh nếu với mọi x1, x2 thuộc A và x1 ≠x2 thì f(x1) ≠ f(x2) hay: f ( x1 ) = f ( x 2 ) ⇒ x1 = x 2 Định nghĩa 4. Hàm số f được gọi là đồng biến trên A nếu: ∀ x1, x2 ∈A,x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) < f ( x2 ) Hàm số f được gọi là nghịch biến trên A nếu: ∀ x1, x2 ∈A,x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) > f ( x2 ) Định lý 1. Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng I a) Nếu f ( x ) > 0 với mọi x ∈I thì hàm số f đồng biến trên khoảng I b) Nếu f ( x ) < 0 với mọi x ∈I thì hàm số f nghịch biến trên khoảng I Định lý 2. Nếu hàm số f đồng biến hoặc nghịch biến trên khoảng I thì ánh xạ f đơn ánhChứng minh. Giả sử hàm số f đồng biến trên khoảng I ∀x1 , x2 ∈ I : x1 > x2 ⇒ f ( x1 ) > f ( x2 ) và x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) < f ( x2 ) Suy ra: x1 ≠ x2 ⇒ f ( x1 ) ≠ f ( x2 ) . Vậy f đơn ánh 1.2. Mối liên hệ giữa tính đơn điệu hàm số và số nghiệm của phương trình. Mệnh đề 1. Giả sử hàm số f đồng biến( nghịch biến) trên khoảng I và tồn tại x0 ∈ I saocho f ( x0 ) = 0 thì phương trình f(x) = 0 có nghiệm duy nhất x0 ∈ IChứng minh. Giả sử phương trình f(x) = 0 có hai nghiệm x1 , x2 ∈ I . Khi đó: f ( x1 ) = 0 vàf ( x2 ) = 0hàm số f đồng biến ( nghịch biến) trên khoảng I nên f là đơn ánh và f ( x1 ) = f ( x2 ) = 0 ⇒ x1 = x2 Mệnh đề 2. Giả sử α ( x ) , β ( x ) là hai hàm xác định trên khoảng I và với x ∈I thì α ( x ) , β ( x )thuộc khoảng K. Nếu hàm F(t) đồng biến ( nghịch biến) trên khoảng K và F ( α ( x ) ) = F ( β ( x ) ) ⇒ α ( x ) = β ( x ) với mọi x ∈I 2. Ứng dụng đạo hàm vào giải một số bài toán về phương trình 1 2.1. Sử dụng định lý 1 và mệnh đề 1 để giải phương trình. 2Ví dụ 1. Giải phương trình: 3 x − 2 − 6 − x + 3 x 2 − 12 = 0 Điều kiện: ≤ x≤6 3 2 Xét hàm số f ( x ) = 3x − 2 − 6 − x + 3x 2 − 12 với x ∈  ;6  3  3 2 2  f ( x) = + + 6 x > 0, ∀ x ∈  ;6 ÷ . 2 3x − 2 2 6 − x 3  2 Suy ra hàm số f ( x ) = 3x − 2 − 6 − x + 3x 2 − 12 đồng biến trên khoảng  ;6 ÷ 3 Ta có: f ( 2 ) = 3.2 − 2 − 6 − 2 + 3.22 − 12 = 2 − 2 + 12 − 12 = 0 ⇒ x = 2 là nghiệm duy nhất của phươngtrìnhTừ cách giải trên, ta nhận thấy phương trình có một nghiệm bằng 2 nên có thể dùng cách phântích để đưa về cách giải sau. ( 3x − 2 − 6 − x )( 3x − 2 + 6 − x ) + 3 x2 − 4 = 0Cách khác: 3x − 2 − 6 − x + 3x 2 − 12 = 0 ⇔ 3x − 2 + 6 − x ( ) 4 ( x − 2)  4 ⇔ + 3( x − 2) ( x + 2) = 0 ⇔ ( x − 2)  + 3( x + 2) ÷= 0 ⇔ x = 2 3x − 2 + 6 − x  3x − 2 + 6 − x  ...