VÀI LIÊN HỆ GIỮA HÌNH HỌC PHẲNG VÀ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

Các bài toán sau đây khai thác một vài mở rộng của một số bài toán phẳng sangbài toán trong không gian và sự vận dụng phương pháp giải bài toán phẳng đểgiải bài toán mở rộng đó.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
VÀI LIÊN HỆ GIỮA HÌNH HỌC PHẲNG VÀ HÌNH HỌC KHÔNG GIANVÀI LIÊN HỆ GIỮA HÌNH HỌC PHẲNG VÀ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Trịnh Thị Thanh Trường THPT chuyên Lê Quý Đôn, TP Đà Nẵng ==================== Các bài toán sau đây khai thác một vài mở rộng của một số bài toán phẳng sangbài toán trong không gian và sự vận dụng phương pháp giải bài toán phẳng đ ểgiải bài toán mở rộng đó.Bài toán 1: Cho ∆ ABC vuông tại A, M là một điểm bất kì trên BC. AM tạo vớiAB, AC các góc theo thứ tự là α và β . Chứng minh cos2 α + cos2 β = 1.Giải: A Qua M dựng đường thẳng vuông góc với AM,cắt AB, AC lần lượt tại B’ và C’. AM AM Khi đó: cos α = ; cos β = C’ AB AC 1 1 ⇒ cos2 α + cos2 β = AM 2 ( + ) B 2 AC2 AB M C 1 2 = AM . AM 2 =1 (Do ∆ AB’C’ vuông tại A, AM là đường cao). B’Bài toán 1’: Cho hình chóp tam diện vuông SABC đỉnh S, M là điểm thuộc miềntrong ∆ ABC. SM hợp với các cạnh SA, SB, SC các góc theo thứ tự α , β , γ .Chứng minh cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 1. SGiải: Sử dụng cách giải tương tự cách giải với bài toán Ctrong mặt phẳng. Dùng mặt phẳng qua M và vuônggóc với SM cắt hình chóp lần lượt tại A’, B’, C’. SM SM SM Khi đó: cosα = ; cosβ = ; cosγ = SA SB SC C’ Nên: A’ 1 1 1 + + cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = SM 2 ( ) M 2 2 SC 2 SA SB A =1 B’ (Theo tính chất của tứ diện vuông) Vậy cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 1. BBài toán 2: Trong tam giác ABC gọi G là giao điểm 3 đường trung tuyến. Chứngminh GA + GB + GC = 0 . AGiải : Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và AC. N GM MN 1 1 = ⇒ GM = − GA . = Ta có: GA AB 2 2 G Lại có: GB + GC = 2GM C ⇒ GA + GB + GC = − 2GM + 2GM B M Hay: GA + GB + GC = 0 .Bài toán 2’: Cho tứ diện ABCD. Gọi G là giao điểm các đường trọng tuyến củatứ diện. Chứng minh GA + GB + GC + GD = 0 . AGiải: Gọi E là trung điểm của CD; G1, G2 lần lượt làtrọng tâm của các tam giác ∆BCD và ∆ADC. Khi đó: GB + GD + GC = 3GG1 . Trong ∆ABE, ta có: G1 EG1 EG2 1 = = G EB EA 3 D GG1 GG 2 1 ⇒ = = B GA GB 3 G2 E ⇒ GA = − 3GG1 Từ đó: GA + GB + GD + GC = −3GG1 + 3GG1 = 0 . CBài toán 3: Chứng minh trong tam giác ABC bất kì, trọng tâm G, trực tâm H, tâm 1đường tròn ngoại tiếp O thẳng hàng và GO = GH (Đường thẳng Ơle). 2Giải: Thẳng hàng là một bất biến của phép vị tự nên ta có thể nghĩ đ ến việc dùngphép vị tự để giải bài toán này. Yêu cầu của bài toán chứng minh hệ thức 1GO = GH làm ta nghĩ đến phép vị tự tâm G biến O ...