VỀ CẤU TRÚC CỦA ÁNH XẠ SONG TUYẾN TÍNH THAY PHIÊN CHẤP NHẬN ĐƯỢC

Đề tài này nghiên cứu về cấu trúc của ánh xạ song tuyến tính thay phiên chấp nhận được.In this subject, we have studied about the structure of the acceptable alternating bilinear map. 1. Mở đầu. Trong đại số tuyến tính, phần cấu trúc của các dạng song tuyến tính, ta biết : “ Nếu f là một dạng thay phiên trên không gian vectơ E trên trường K . Thế thì E là tổng trực giao của hạt nhân của nó và không gian Hyperbolic. Nếu E không suy biến thì...
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
VỀ CẤU TRÚC CỦA ÁNH XẠ SONG TUYẾN TÍNH THAY PHIÊN CHẤP NHẬN ĐƯỢCTuyển tập Báo cáo “Hội nghị Sinh viên Nghiên cứu Khoa học” lần thứ 6 Đại học Đà Nẵng - 2008 VỀ CẤU TRÚC CỦA ÁNH XẠ SONG TUYẾN TÍNH THAY PHIÊN CHẤP NHẬN ĐƯỢC ON THE STRUCTURE OF THE ACCEPTABLE ALTERNATING BILINEAR MAP SVTH: NGÔ THỊ HOÀI PHƢƠNG Lớp: 05TT, Trường Đại học Sư Phạm GVHD: TS. NGUYỄN NGỌC CHÂU Khoa Toán, Trường Đại học Sư Phạm TÓM TẮT. Đề tài này nghiên cứu về cấu trúc của ánh xạ song tuyến tính thay phiên chấp nhận được. ABSTRACT. In this subject, we have studied about the structure of the acceptable alternating bilinear map.1. Mở đầu. Trong đại số tuyến tính, phần cấu trúc của các dạng song tuyến tính, ta biết : “ Nếu f làmột dạng thay phiên trên không gian vectơ E trên trường K . Thế thì E là tổng trực giao củahạt nhân của nó và không gian Hyperbolic. Nếu E không suy biến thì E là một không gianhyperbolic và số chiều của nó là một số chẵn ”. ( Xem [ 4, tập III, định lý 6, trang 78 ] ). Mộtcâu hỏi được đặt ra một cách tự nhiên là : kết quả đẹp đẽ này có thể mở rộng cho ánh xạ songtuyến tính thay phiên hay không ? Mục đích của đề tài này là tìm cách giải đáp cho câu hỏi trên. Cụ thể là: tìm hiểu cấutrúc của ánh xạ song tuyến tính thay phiên chấp nhận được  : E x E  U, trong đó dim K E là một số lẻ lớn hơn 1, dim K U = 2, K là trường 2 , và  có độ rắn bằng 2.2. Các kiến thức chuẩn bị.2.1. Định nghĩa ánh xạ song tuyến tính. Giả sử E, F, G là những không gian vectơ trên trường K .Ánh xạ f : E x F  G được gọi là ánh xạ song tuyến tính trên E x F nếu nó tuyến tínhđối với mỗi biến, nghĩa là với mọi x, x’  E, y, y’  F, mọi a, b  K, ta có : i) f(x + x’, y) = f(x, y) + f(x’, y) ii) f(ax, y) = af(x, y) iii)f(x, y + y’) = f(x, y) + f(x, y’) iv) f(x, by) = bf(x, y) Nếu E = F thì ta nói f là ánh xạ song tuyến tính trên E thay cho ánh xạ song tuyến tínhtrên E x E.2.2. Định nghĩa ánh xạ song tuyến tính thay phiên. Một ánh xạ song tuyến tính f trên E được gọi là ánh xạ song tuyến tính thay phiên nếuf(x, y) = - f(y, x) , với mọi x, y  E .2.3. Mệnh đề. Cho E, U là các không gian vectơ hữu hạn chiều trên trường K. 288 TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 2(25).2008  : E  E  U là một ánh xạ song tuyến tính thay phiên. Khi đó tồn tại duy nhất ánh  : E ( 2)  U.xạ tuyến tính  (v  v’)   (v  v’) =  (v, v’). 2.4. Định nghĩa ánh xạ song tuyến tính thay phiên chấp nhận được. Cho E, U là các không gian vectơ trên 1 trường K. Ánh xạ song tuyến tính thayphiên  : E  E  U được gọi là chấp nhận được nếu : i)  ( E x E ) sinh ra U . ii)  không suy biến, nghĩa là : { v  E /  (v, E ) = 0 } = 02.5. Độ rắn của ánh xạ song tuyến tính.2.5.1. Định nghĩa. Cho  : E  E  U là ánh xạ song tuyến tính và k U * . Khi đó hợp thành k   : E  E  K là dạng song tuyến tính. Lk  v  E / k   (v, E)  0Đặt r  min dim E / Lk . kU 0 *Ta gọi r là độ rắn của ánh xạ song tuyến tính  .2.5.2.Tính chất. Nếu  là ánh xạ song tuyến tính thay phiên chấp nhận được thì : i) r là số chẵn. ii) 2  r  dim E.3. Cấu trúc của ánh xạ song tuyến tính thay phiên chấp nhận được.3.1. Mệnh đề. Cho E là không gian 3 chiều, U là không gian vectơ 2 chiều trên trường 2 , ánh xạ  :E  E  U là ánh xạ song tuyến tính thay phiên chấp nhận được. Khi đó, tồn tại một cơ sởcủa E và một cơ sở của U để ma trận của ánh xạ tuyến tính  : E ( 2)  U.  (v  v’)   (v  v’) =  (v, v’).   1 0 0  A= .là  0 0 13.2. Mệnh đề. Cho E là không gian vectơ n chiều trên trường 2 , n lẻ, n > 3, U là không gian vectơ2 chiều trên trường 2 . Ánh xạ  : E  E U là ánh xạ song tuyến tính thay phiên chấpnhận được, r = 2. Khi đó : E = E1  E2 , với dim E1 = 3 ,dim E2 = n – 3 , trong đó  |E1E1 : là một ánh xạ song tuyến tính thay phiên chấp nhậnđược ...