Về chuyển động của chất điểm dưới tác động của hàm điều khiển đa thức

Bài viết Về chuyển động của chất điểm dưới tác động của hàm điều khiển đa thức tiến hành xem xét chuyển động của một chất điểm trong mặt phẳng với phương trình chuyển động được mô tả bởi hệ dừng động học tuyến tính (hệ điều khiển được) dạng x’(t)=Bx(t)+Du(t).
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Về chuyển động của chất điểm dưới tác động của hàm điều khiển đa thức 124 Lê Hải Trung VỀ CHUYỂN ĐỘNG CỦA CHẤT ĐIỂM DƯỚI TÁC ĐỘNG CỦA HÀM ĐIỀU KHIỂN ĐA THỨC ABOUT THE MOTION OF OBJECT UNDER THE INFLUENCE OF POLYNOMIAL CONTROLLIBILITY FUNCTION Lê Hải Trung Trường Đại học Sư phạm - Đại học Đà Nẵng; trungybvnvr@yahoo.com Tóm tắt - Vấn đề xây dựng hàm trạng thái và hàm điều khiển dưới Abstract - The problem of constructing state function and dạng đa thức của bài toán điều khiển trong những năm gần đây đã controllibility function in the type of polynomials of the control nhận được nhiều sự quan tâm của các tác giả như: Ailon A, problem in recent years has received much attention from authors Зубова С.П, Раецкая Е. В… Ý nghĩa cơ bản của bài báo là đem such as Ailon A, Зубова С.П, Раецкая Е. В ... The basic meaning lại sự thuận tiện cho việc khảo sát và đánh giá quỹ đạo chuyển is to facilitate the survey and evaluation of the trajectory of motion. động. Nội dung bài báo tiến hành xem xét chuyển động của một The aim of this article is to consider the motion of object in plane chất điểm trong mặt phẳng { ,} với phương trình chuyển động { ,} with the equation of motion described by the linear dynamic được mô tả bởi hệ dừng động học tuyến tính (hệ điều khiển được) system x '(t) = Bx (t) + Du(t). With the assumption that the dạng x’(t)=Bx(t)+Du(t). Với giả thiết là hàm điều khiển u(t) có thể controllibility function u(t) can be found in polynomial when we give tìm được dưới dạng đa thức khi ta đưa vào điều kiện đầu, tác giả input condition, the author has devised a method to prove that the đã xây dựng phương pháp để chứng minh được bậc của hàm điều degree of controllability function is  5. By adding conditions (19), khiển là không quá 5. Khi bổ sung thêm các điều kiện (19) thì ta có we can prove that u(t) is polynomial of degrees  2n  5. thể chứng minh u(t) là đa thức với bậc không vượt quá 2n+5. Từ khóa - hàm trạng thái; hàm điều khiển; tiêu chuẩn Kalman; đa Key words - state function; controllibility function; Kalman’s thức; hệ động lực học. criterion ; polynomial; dynamic system. 1. Đặt vấn đề lại nhiều khó khăn trong việc nghiên cứu và khảo sát các Đối với tính điều khiển được của hệ động lực học tính chất của u(t ) , x(t ) trong thực hành. x(t )  Bx(t )  Du(t ), (1) A. Ailon (xem [5]) đối với hệ (1) với điều kiện (2) đã chứng minh rằng, tồn tại hàm u(t ) dưới dạng đa thức với ở đây x(t )  R n , u (t )  R m ; B, D là các ma trận với kích bậc nhỏ hơn 2 n . Còn trong [4] chứng minh được rằng thước n  n và n  m tương ứng, t [0, T ], đã được R.E “hàm điều khiển có thể biểu diễn được dưới dạng đa thức Kalman1 khẳng định qua định lý sau đây. bậc M  2r 1, ở đây r  n  rankD ”. Định lý 1 (Tiêu chuẩn Kalman, xem [1]). Hệ (1) là điều khiển được khi và chỉ khi: Bài báo đặt vấn đề xây dựng đa thức điều khiển u(t ) của chất điểm trong mặt phẳng { ,} có phương trình rank( D | BD | ... | Bn1D)  n. (2) chuyển động được mô tả dưới dạng (1). Tính điều khiển Trong (2) thì ma trận ( D | BD | ... | Bn1D) được gọi là được của hệ được kiểm chứng bằng tiêu chẩn Kalman, sau ma trận điều khiển, được ghép lại từ các thành phần là ma đó chứng tỏ rằng các hàm trạng thái và điều khiển trận D, sau đó đến ma trận BD... và thành phần cuối cùng x(t ), u(t ) là tìm được dưới dạng đa thức. là ma trận Bn1D. Khi hệ (1) được bổ sung điều kiện: x(0)  x0 , x(T )  xT , (3) thì hàm u(t ) xây dựng được dưới dạng (xem [1]): T u (t )  D*etB (  e sB DD*e sB ds)1 (eTB xT  x 0 ), * * 0 trong đó B , D là các ma trận liên hợp tương ứng với B, D. * * Trong các công trình của mình Зубова С.П, Раецкая Е. В cũng đã xây dựng được hàm u(t ) dưới dạng tích của một Hình 1. Chuyển động của chất điểm m trong mặt phẳng { ,}. hàm mũ và một hàm đa thức (xem [4, 6]), con đường xây dựng nhìn chung còn gian nan và phải thực hiện nhiều phép Xét chuyển động của chất điểm (Hình 1, xem [1]) với toán rất phức tạp. Sự xuất hiện ma trận mũ trong u(t ) đem khối lượng m trong mặt phẳng { ,} bởi các đường cong 11 Tiêu chuẩn về tính điều khiển được của hệ x(t )  Bx(t )  Du(t ) được R. E. Kalman công bố trong các công trình của ông vào năm 1961 và được xem xét đầy đủ trong [1]. ISSN 1859-1531 - TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG, SỐ 5(114).2017-Quyển 1 125 theo tham số    ( ),    ( ), ở đây  - là tọa độ ...