Về định lí giới hạn trung tâm theo trung bình đối với dãy hiệu Martingale

Bài viết trình bày về định lí giới hạn trung tâm theo trung bình đối với dãy hiệu Martingale trong lớp các định lý giới hạn của lý thuyết xác suất thì Định lý giới hạn trung tâm đóng vai trò rất quan trọng trong việc nghiên cứu các bài toán thống kê và các ứng dụng. Tuy nhiên bài toán thống kê nói chung không cho phép chúng ta nhiên cứu với kích thước mẫu lớn vô hạn, chính vì vậy bài toán “xấp xỉ phân phối chuẩn” sẽ cho phép chúng ta ước lượng được kích thước mẫu cần thiết để chúng ta có thể áp dụng được Định lí giới hạn trung tâm.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Về định lí giới hạn trung tâm theo trung bình đối với dãy hiệu Martingale 88 Tôn Thất Tú, Lê Văn Dũng, Lê Thị Thúy Quỳnh VỀ ĐỊNH LÍ GIỚI HẠN TRUNG TÂM THEO TRUNG BÌNH ĐỐI VỚI DÃY HIỆU MARTINGALE ON THE MEAN CENTRAL LIMIT THEOREM FOR MARTINGALE DIFFERENCE SEQUENCES Tôn Thất Tú1, Lê Văn Dũng1, Lê Thị Thúy Quỳnh2 Trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng; Email: tthattu@gmail.com 1 2 Học viên Cao học K27-TSC, Đại học Đà Nẵng; Email: quynhle90dn@gmail.com Tóm tắt - Trong lớp các định lý giới hạn của lý thuyết xác suất thì Abstract - Among the limit theorems of the probability theory, the Định lý giới hạn trung tâm đóng vai trò rất quan trọng trong việc central limit theorem plays an important role in the research of nghiên cứu các bài toán thống kê và các ứng dụng. Tuy nhiên bài statistical problems and its applications. However, it is almost toán thống kê nói chung không cho phép chúng ta nhiên cứu với impossible for us to study statistical problems with infinite sample kích thước mẫu lớn vô hạn, chính vì vậy bài toán “xấp xỉ phân phối sizes. Therfore, the problem of “normal approximation” is to enable chuẩn” sẽ cho phép chúng ta ước lượng được kích thước mẫu cần us to estimate the sample size needed so that the central limit thiết để chúng ta có thể áp dụng được Định lí giới hạn trung tâm. theorem can be applied. In this case, the L norm and the L1 norm Trong đó, chuẩn L và L1 thường được sử dụng trong bài toán are usually employed in the problem of “normal approximation”. In “xấp xỉ phân phối chuẩn”. Trong bài báo này, chúng tôi thiết lập một this paper, we establish some results of normal approximation in L1 số kết quả về xấp xỉ phân phối chuẩn theo chuẩn L1 đối với dãy for the sequences of identical distributed martingale difference biến ngẫu nhiên hiệu martingale cùng phân phối xác suất. random variables. Từ khóa - xấp xỉ phân phối chuẩn; biến ngẫu nhiên; hiệu Key words - normal approximation; random variables; martingale martingale; bất đẳng thức Berry-Esssen; định lí giới hạn trung tâm. difference; Berry-Essen inequality; central limit theorem. + 1. Đặt vấn đề Cho ( X n ; n  N* ) là dãy biến ngẫu nhiên có kì vọng 0 f * g ( x) =  − f ( x − y ) g ( y )dy. và phương sai  2 hữu hạn. Đặt Sn = X1 + X 2 + ... + X n. Kí 2. Kết quả nghiên cứu hiệu Fn ( x ) và  ( x) lần lượt là hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên Sn /  n và biến ngẫu nhiên chuẩn tắc. Để chứng minh kết quả chính ta cần bổ đề sau. Định lí giới hạn trung tâm cổ điển nói rằng: nếu 2.1. Bổ đề [3] ( X n ; n  N* ) là dãy biến ngẫu nhiên độc lập, cùng phân Cho X and  là hai biến ngẫu nhiên. Với mọi p  1/ 2 phối xác suất thì Fn ( x ) hội tụ đến  ( x) khi n →  với mọi ta có: x  R . Vào năm 1954, Agnew [1] chỉ ra rằng Fn ( x ) hội tụ ‖ FX − ‖ 1 ‖ FX + − ‖ 1 +2(2 p + 1)‖ E( 2 p | X )‖ 1/2 p . đến  ( x) trong L p khi n →  với p  1/ 2 . Trong trường Để thuận tiện cho việc trình bày chứng minh, ở đây ta hợp p = 1 hội tụ đó được gọi là định lí giới hạn trung tâm sử dụng hằng số C tổng quát có thể nhận các giá trị khác theo trung bình. Tốc độ hội tụ của định lí giới hạn trung nhau tùy thuộc vào biến đổi. tâm theo trung bình được Esseen [5] chỉ ra rằng: Ta có định lí sau. ‖ Fn − ‖ 1 = O(n−1/ 2 ) khi n → . 2.2. Định lí Dãy biến ngẫu nhiên ( X n ; n  N* ) xác định trên không gian xác suất (; ; P ) được gọi là hiệu martingale nếu ...