Về không điểm của đa thức nhiều biến trên vành giao hoán

Cho f(x1,...,xn) là một đa thức trên vành giao hoán A, bài viết này xây dựng một vành B ⊇ A sao cho f(x1,...,xn) có không điểm trong không gian Bn khi các hệ tử cao nhất của f(x1,...,xn) khả nghịch. Bên cạnh đó, bài báo chỉ ra sự khác biệt đối với bài toán phân tích đa thức thành nhân tử, mối quan hệ giữa hai khái niệm: Đa thức và hàm đa thức trên vành giao hoán.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Về không điểm của đa thức nhiều biến trên vành giao hoán TẠPTẠP CHÍ KHOA HỌC VÀCHÍ CÔNGKHOA NGHỆHỌC VÀ CÔNG NGHỆ JOURNAL OFTập SCIENCE 20, SốAND TECHNOLOGY 3 (2020): 95-100 TRƯỜNG ĐẠI HỌC HÙNG VƯƠNG HUNG VUONG UNIVERSITY Tập 20, Số 3 (2020): 95-100 Vol. 20, No. 3 (2020): 95-100 Email: tapchikhoahoc@hvu.edu.vn Website: www.hvu.edu.vn VỀ KHÔNG ĐIỂM CỦA ĐA THỨC NHIỀU BIẾN TRÊN VÀNH GIAO HOÁN Nguyễn Tiến Mạnh1* 1 Khoa Giáo dục Tiểu học và Mầm non, Trường Đại học Hùng Vương, Phú Thọ Ngày nhận bài: 08/4/2020; Ngày chỉnh sửa: 20/5/2020; Ngày duyệt đăng: 22/5/2020Tóm tắtC ho f(x1,...,xn) là một đa thức trên vành giao hoán A, bài báo này xây dựng một vành B ⊇ A sao cho f(x1,...,xn) có không điểm trong không gian Bn khi các hệ tử cao nhất của f(x1,...,xn) khả nghịch. Bên cạnh đó, bài báochỉ ra sự khác biệt đối với bài toán phân tích đa thức thành nhân tử, mối quan hệ giữa hai khái niệm: đa thức vàhàm đa thức trên vành giao hoán.Từ khóa: Đa thức, không điểm, vành giao hoán.1. Đặt vấn đề sao cho F là một trường đóng đại số [2], điều Cho  là một trường, như chúng ta đã này cho thấy sự tồn tại phổ biến của mở rộngbiết mỗi đa thức f ( x) ∈ [x] có bậc dương đóng đại số đối với một trường bất kỳ.trên  có thể không có nghiệm trong . Tuy Giả sử (x1,...,xn) là các biến độc lập.nhiên, luôn tồn tại một trường mở rộng F ⊇ Nhắc lại rằng không điểm của đa thức sao cho f(x) có nghiệm trong F [1]. Do số f ( x1 ,K , xn ) ∈ [x1 ,K , xn ] là phần tửnghiệm của f(x) không vượt quá degf(x) nên (α1 ,K , α n ) ∈  n thỏa mãn f (α1 ,K , α n ) = 0sau một số bước mở rộng, ta sẽ được một [3]. Trong trường hợp một biến số, chúngtrường chứa đầy đủ các nghiệm của f(x). Qua ta vẫn quen gọi không điểm là nghiệm.đó chúng ta thấy mọi đa thức bậc dương trên Nếu F là mở rộng đóng đại số của , bằngmột trường đều có đầy đủ các nghiệm nếu quy nạp ta có thể chứng minh mọi đa thứcta xét chúng trong một trường “đủ rộng”. f ( x1 ,K , xn ) ∈ [x1 ,K , xn ], degf ( x1 ,K , xn ) > 0Tiến xa hơn, người ta đã chỉ ra sự tồn tại của đều có không điểm trong Fn[4]. Như vậy sựnhững trường mà mọi đa thức trên nó đều có tồn tại nghiệm cũng như không điểm của đanghiệm trong đó, loại trường này được gọi thức là phổ biến nếu xét trong một trườnglà trường đóng đại [2] mà ví dụ điển hình là hoặc một không gian đủ rộng và điều nàytrường số phức C. Tổng quát hơn, luôn tồn đã được trình bày một cách hệ thống trongtại một trường F là mở rộng đại số của  nhiều tài liệu [1, 5, 6]. Tuy nhiên, đối với đa *Email: manhnt79@gmail.com 95 TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ Nguyễn Tiến Mạnhthức trên một vành giao hoán, vấn đề này còn Nếu ϕ = (a ) 0 (a ∈ A) thì a chia hết choít được đề cập đến. Trong bài báo này, chúng f ( x1 ,K , xn ). Do đó tồn tại g ( x1 ,K , xn )tôi sẽ chứng tỏ khi xét trên vành giao hoán,bài toán về sự tồn tại không điểm trong vành để a = f ( x1 ,K , xn ) g ( x1 ,K , xn ). So sánhmở rộng của đa thức nhiều biến với hệ tử bậc bậc hai vế suy ra a = 0 . Vậy ϕ là đơncao nhất khả nghịch có điểm tương tự như cấu nên ta có thể coi A như một vànhđối với đa thức trên một trường. Ngoài ra, bài A[ x1 ,K , xn ] con của vành thương . Tabáo chỉ ra sự khác biệt đối với bài toán phân Itích đa thức thành nhân tử, mối quan hệ giữa có f=( x1 ,K , xn ) f= ( x1 ,K , xn ) 0 nênnhai khái niệm: đa thức và hàm đa thức nhiều f ( x1 ,K , xn ) nhận ( x1 ,K , xn ) ∈  A[ x1 ,K , xn ] biến trên vành giao hoán.  I  làm không điểm, ở đây x1 ,K , xn lần lượt là2. Nội dung nghiên cứu x ,K , xn trong A[ x1 ,K , xn ] . Từ các ảnh của 1 I2.1. Sự tồn tại không điểm của đa thức khẳng định này, ta được định lý sau.nhiều biến trong vành mở rộng Định lý 2.1. Cho số nguyên dương n, A Cho s ...