Véc tơ ngẫu nhiên trong xác suất thống kê - 1

Véc tơ ngẫu nhiên1. Phân phối đồng thời của các biến ngẫu nhiên Giả sử X1,X2,…,Xn là n biến ngẫu nhiên xác định trên cùng không gian xác suất ( , , P), nhận giá trị trong không gian đo (R, B(R).Định nghĩa 1.1. Ta gọi X = (X1, X2,…, Xn) là vectơ ngẫu nhiên n chiều với giá trị trong Rn. Định nghĩa 1.2. Với mỗi tập Bôren B con của Rn, P[ : X Bn, trong đó Bn là -đại số Bôren các tậpB] được gọi là phân phối xác suất của vectơ ngẫu nhiên X= (X1, X2,…,...
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Véc tơ ngẫu nhiên trong xác suất thống kê - 1 Véc tơ ngẫu nhiên1. Phân phối đồng thời của các biến ngẫu nhiênGiả sử X1,X2,…,Xn là n biến ngẫu nhiên xác định trên cùng không gian xác suất , P), nhận giá trị trong không gian đo (R, B(R).(,Định nghĩa 1.1. Ta gọi X = (X1, X2,…, Xn) là vectơ ngẫu nhiên n chiều với giá trịtrong Rn. Bn, trong đó Bn làĐịnh nghĩa 1.2. Với mỗi tập Bôren B -đại số Bôren các tậpcon của Rn, P[ : X B] được gọi là phân phối xác suất của vectơ ngẫu nhiên X= (X1, X2,…, Xn) hay phân phối đồng thời của n biến ngẫu nhiên X1, X2,…, Xn. Rn, hàmĐịnh nghĩa 1.3. Với (x1, x2,…, xn)F(x1, x2,…, xn) =được gọi là hàm phân phối đồng thời của n biến ngẫu nhiên X1, X2,…, Xn.Tính chất 1.4. F(x1, x2,…, xn) là hàm đơn điệu không giảm theo các biến.  F(x1, x2,…, xn) là hàm liên tục bên phải theo các biến.  F(x1, x2,…, xn) = 1 và F(x1,x2,…,xn) = 0, 1 i  n. P[ : a1 X < b1; a2 Y < b2] = F(b1,b2) – F(a1;b2) - F(b1;a2) +  F(a1;a2)Ví dụ 1.5. Giả sử vectơ ngẫu nhiên (X, Y) có hàm phân phối đồng thời làF(x,y) =a- Xác định hàm phân phối của X ; của Y.b- Tính P1 X < 2; 1 Y < 2] Giải. a- Hàm phân phối của X làHàm phân phối của Y làb- P[ 1 X < 2; 1 Y < 2] = F(2; 2) – F(1; 2) – F(2; 1) + F(1;1) =1- =2. Véc tơ ngẫu nhiên rời rạcTa xét trường hợp 2 chiều. Cho X và Y là hai biến ngẫu nhiên rời rạc. Giả sử Xnhận các giá trị x1, x2,...., xn,...và Y nhận các giá trị y1, y2,... ym,...Định nghĩa 2.1. Dãy các xác suấtP([ : X = xi] [ : Y = yj]) =P(X = xi, Y = yi) = pij , i = 1, 2... và j = 1, 2,...được gọi là phân phối đồng thời của hai biến ngẫu nhiên X, Y.Ta có thể viết dưới dạng bảng như sau-- page y1 Y2 ..... ym ....break --YXx1 p11 P12 ...... p1m ....x2 p21 P22 ..... p2m ....xn pn1 pn2 .... pnm ... .... .... .... .... .... Hàm phân phối đồng thời của X và Y là  R2 .F(x,y) = (x;y)Từ phân phối đồng thời của X và Y ta nhận được Phân phối xác suất của X làØP[X = xi] = , i = 1, 2,... Phân phối xác suất của Y làØP[Y = yi] = , j = 1, 2,...Ví dụ 2.2. Cho vectơ ngẫu nhiên (X, Y) có phân phối đồng thời xác định như sauX 1 2 3Y1 0,1 0,3 0,22 0,06 0,18 0,16Tìm phân phối xác suất của X ; của Y và của Z = X + Y. Giải. Ta cóP [X = 1] = 0,1 + 0,06 = 0,16;P [X = 2] = 0,3 + 0,18 = 0,48;P [X = 3] = 0,2 + 0,16 = 0,36;Vậy phân phối xác suất của X làX 1 2 3P 0,16 0,48 0,36Tương tự,P [Y = 1] = 0,30 + 0,20 = 0,6P [Y = 2] = 0,06 + 0,18 + 0,16 = 0,4nên phân phối xác suất của Y làY 1 2P 0,6 0,4 Phân phối xác suất của Z = X + Y Dễ thấy Z = X + Y chỉ có thể nhận các giá trị 2, 3, 4, 5 v àP [Z = 2] = P [X = 1; Y = 1] = 0,1P [Z = 3] = P [X = 1; Y = 2] + P [X = 2; Y = 1] = 0,06 + 0,3 = 0,36P [Z = 4] = P [X = 2; Y = 2] + P [X = 3; Y = 1] = 0,18 + 0,20 = 0,38P [Z = 5] = P [X = 3; Y = 2] = 0,16Vậy phân phối xác suất của Z = X + Y làZ=X+Y 2 3 4 5P[X + Y = 0,1 0,36 0,38 0,16i]Ví dụ 2.3. ( Phân phối đa thức.)Xét dãy n phép thử độc lập G1, G2,.... Gn mà trong mỗi phép thử Gi đều có r biếncố có thể xảy ra là A1, A2,..., Ar. Giả sử p1 là xác suất xuất hiện biến cố A1 trongmỗi phép thử; p2 là xác suất xuất hiện biến cố A2 trong mỗi phép thử;…, pr là xácsuất xuất hiện biến cố Ar trong mỗi phép thử; Ký hiệu Xi là số lần xuất hiện biếncố Ai trong n phép thử, i = thì phân phối đồng thời của X1,X2,…,Xr làP[X1 = k1,X2 = k2,..., Xr = kr] =trong đó n = k1 + k2 +... + kr; p1 + p2 +... + pr = 1.Phân phối xác suất dạng trên được gọi là phân phối đa thức.Ví dụ 2.4. Tìm xác suất để khi gieo ngẫu nhiên 20 lần một con xúc xắc cân đối vàđồng chất sẽ có 4 lần xuất hiện mặt 1 chấm; 3 lần xuất hiện mặt 2 chấm; 5 lầnxuất hiện mặt 3 chấm; 2 lần xuất hiện mặt 4 chấm; 2 lần xuất hiện mặt 5 chấm v à4 lần xuất hiện mặt 6 chấm.Giải. Vì con xúc xắc cân đối và đồng chất nên các mặt 1, 2, 3, 4, 5, 6 chấm có khảnăng xuất hiện như nhau với xác suất bằng , nghĩa là p1 = p2 =... = p6 = vớipi là xác suất của biến cố Ai “mặt có i chấm xuất hiện”, . Theo Ví dụ 2.3,xác suất phải ...