Véc tơ ngẫu nhiên trong xác suất thống kê - 2

3. Véc tơ ngẫu nhiên liên tục Định nghĩa 3.1. Vectơ ngẫu nhiên n chiều X = (X1, X2,…, Xn) gọi là có phân phối liên tục tuyệt đối nếu hàm phân phối đồng thời của nó có dạng: F(x1,x2,…,xn) = ; (x1,…,xn)RnHàm dưới dấu tích phân f(x1,..,xn) được gọi là hàm mật độ đồng thời của n biến ngẫu nhiên X1,…,Xn. Tính chất 3.2. Với (x1,…,xn) RnVí dụ 3.3. Giả sử hai biến ngẫu nhiên X,Y có hàm mật độ đồng thời làa- Tìm a và xác định hàm phân phối đồng thời của X và Y. b- Xác...
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Véc tơ ngẫu nhiên trong xác suất thống kê - 2 = =3. Véc tơ ngẫu nhiên liên tụcĐịnh nghĩa 3.1. Vectơ ngẫu nhiên n chiều X = (X1, X2,…, Xn) gọi là có phân phốiliên tục tuyệt đối nếu hàm phân phối đồng thời của nó có dạng: RnF(x1,x2,…,xn) = ; (x1,…,xn)Hàm dưới dấu tích phân f(x1,..,xn) được gọi là hàm mật độ đồng thời của n biếnngẫu nhiên X1,…,Xn. RnTính chất 3.2. Với (x1,…,xn) f(x1,…,xn) =  f(x1,…,xn) 0  =1  Với D Ì Rn thì P[(X1,…,Xn) D] =Trong trường hợp 2 chiều, nếu biết f(x, y) là hàm mật độ đồng thời của X và Y thì Hàm mật độ của X làØ Hàm mật độ của Y làØVí dụ 3.3. Giả sử hai biến ngẫu nhiên X,Y có hàm mật độ đồng thời làa- Tìm a và xác định hàm phân phối đồng thời của X và Y.b- Xác định hàm mật độ của X; của Y.c- Xác định hàm phân phối và hàm mật độ của biến ngẫu nhiên Z =Giải. a- Ta có => Û a.1 = 1. Vậy a = 1. Hàm phân phối đồng thời của X, Y là F(x,y) = =b- Hàm mật độ của X làfX(x) = = =Tương tự, hàm mật độ của Y làfY(y) = = =c- Với z > 0, hàm phân phối của Z là Hàm mật độ của Z là4. Sự độc lập của các biến ngẫu nhiênĐịnh nghĩa 4.1. Dãy n biến ngẫu nhiên X1,…,Xn, i = cùng xác định trên khônggian xác suất ( , ,P) được gọi là độc lập nếuPtrong đó B1,B2,…,Bn B( R)Dãy vô hạn các biến ngẫu nhiên X1,X2,…,Xn,… được gọi là độc lập nếu mọi dãycon hữu hạn bất kì của dãy (Xn, n 1) là độc lập.Định lí 4.2. Dãy n biến ngẫu nhiên X1, X2,..., Xn được gọi là độc lập khi và chỉ khiF(x1, x2,...,xn) =Định lí 4.3. Giả sử các biến ngẫu nhiên X1,..., Xn có hàm mật độ đồng thời là hàm mật độ của từng biến Xi. Khi đó, điều kiệnf(x1,...xn) vàcần và đủ để n biến ngẫu nhiên X1, X2,..., Xn độc lập làf(x1, x2,...,xn) =Định lí 4.4. Giả sử là hai hàm Borel và X, Y là các biến ngẫu nhiên độc 1; 2lập. Khi đó, các biến ngẫu nhiên Z1 = cũng độc lập. 1(X) và Z2 = 2(Y)Ví dụ 4.5. Giả sử vectơ ngẫu nhiên (X, Y) có phân phối đều trên hình vuôngD = {(x, y) : 0 x 1; 0 y 1],nghĩa là hàm mật độ của nó có dạng:f(x, y) =Chứng minh rằng X, Y là độc lập.Giải. Hàm mật độ của X làfX(x) = =Tương tự,fY(y) = =Từ đó suy rafX(x) fY(y) = = f(x,y)Vậy X, Y là độc lập.