Xác suất thiệt hại trong bảo hiểm với mô hình rủi ro phụ thuộc Markov

Nội dung chính của bài viết là đưa ra được công thức tính chính xác xác suất thiệt hại cho mô hình rủi ro trong bảo hiểm khi dãy tiền thu bảo hiểm và chi trả bảo hiểm là dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc Markov.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Xác suất thiệt hại trong bảo hiểm với mô hình rủi ro phụ thuộc Markov TẠP CHÍ KHOA HỌC − SỐ 14/2017 41 XÁC SUẤT THIỆT HẠI TRONG BẢO HIỂM VỚI MÔ HÌNH RỦI RO PHỤ THUỘC MARKOV Nguyễn Thị Thúy Hồng1 Trường Đại học Thủ đô Hà Nội Tóm tắt tắt: ắt Nội dung chính của bài báo là đưa ra được công thức tính chính xác xác suất thiệt hại cho mô hỉnh rủi ro trong bảo hiểm khi dãy tiền thu bảo hiểm và chi trả bảo hiểm là dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc Markov. Từ khóa khóa: Mô hình rủi ro, xác suất thiệt hại (không thiệt hại), phí bảo hiểm, dãy tiền thu bảo hiểm. 1. ĐẶT VẤN ĐỀ Bảo hiểm là hoạt động qua đó một cá nhân hay tổ chức có quyền được hưởng trợ cấp nhờ vào một khoản đóng góp cho mình hoặc cho người thứ ba trong trường hợp xảy ra rủi ro. Khoản trợ cấp này do một tổ chức trả, tổ chức này có trách nhiệm đối với toàn bộ các rủi ro và đền bù các thiệt hại theo hợp đồng bảo hiểm. Bảo hiểm góp phần bảo đảm cho các quá trình tái sản xuất và đời sống xã hội được diễn ra bình thường. Các công ty khi tiến hành đầu tư tài chính có thể gặp rủi ro (dẫn đến thua lỗ hoặc phá sản). Các công ty bảo hiểm mở ra nhằm mục đích chịu trách nhiệm và chia sẻ một phần rủi ro này, nhưng ngay chính hoạt động bảo hiểm cũng là một hoạt động đầu tư tài chính nên bản thân nó cũng chứa đựng sự rủi ro. Hiện nay, đứng trước khó khăn của nền kinh tế, các doanh nghiệp ngành bảo hiểm đã không ngừng nỗ lực, vượt khó để tiếp tục phát triển. Một trong những việc quan trọng của các công ty này là đánh giá được mức độ rủi ro, đây là nhu cầu cấp thiết, đòi hỏi cần được nghiên cứu và giải quyết, để hạn chế tối thiểu thiệt hại có thể xảy ra. Đối với các mô hình rủi ro cổ điển, bài toán thường được nghiên cứu với các giả thiết liên quan tới dãy biến ngẫu nhiên độc lập. Chẳng hạn, như trong kết quả của Cramer – Lundberg về ước lượng xác suất thiệt hại trong mô hình rủi ro với thời gian liên tục, dãy 1 Nhận bài ngày 5.3.2017; chỉnh sửa, gửi phản biện và duyệt đăng ngày 20.3.2017 Liên hệ tác giả: Nguyễn Thị Thúy Hồng; Email: ntthong05@gmail.com 42 TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ ĐÔ H NỘI các số tiền đòi trả bảo hiểm, cũng như dãy thời gian giữa hai lần đòi trả liên tiếp, đều giả thiết là dãy biến ngẫu nhiên không âm, độc lập, cùng phân phối. Trong lý thuyết rủi ro, hai mô hình cổ điển sau đây là rất quan trọng và được nghiên cứu nhiều: Mô hình nhị thức hỗn hợp và mô hình Poisson hỗn hợp. Hai tác giả Picard và Lefèvre (xem [8]) đưa ra công thức dưới dạng hiện để tính xác suất phá sản với thời gian hữu hạn trong mô hình Poisson với các quá trình chi trả nhận giá trị nguyên. Một số tác giả (xem De Vylder[3], [4] và Ignatov [5], [6]) đã chỉ ra tầm quan trọng của công thức Picard – Lefèvre cũng như phạm vi ứng dụng rộng rãi của nó. Gần đây hai tác giả Claude Lefèvre và Stephane Loisel) (xem [2]) đã mở rộng công thức trong [8] cho mô hình rủi ro bảo hiểm nhị thức và mô hình Poisson. Hơn nữa công thức tính xác suất phá sản còn được cho dưới dạng hiện, song các tác giả này chỉ xét mô hình rủi ro có dãy tiền thu bảo hiểm được giả thiết đơn giản là tất định, tuyến tính theo thời gian, còn dãy tiền chi trả bảo hiểm là dãy biến ngẫu nhiên độc lập, cùng phân phối và có phân phối nhị thức. Trong [1], chúng tôi xét mô hình mà dãy tiền thu và chi trả bảo hiểm là các dãy biến ngẫu nhiên nhận giá trị nguyên, không âm, độc lập và đã tìm ra công thức tính chính xác xác suất phá sản cho mô hỉnh rủi ro nhị thức tổng quát. Kết quả trong [1] là mở rộng đáng kể kết quả trước đó của Claude Lefèvre và Stephane Loisel trong [2]. Trong bài báo này, chúng tôi đưa ra công thức tính chính xác xác suất thiệt hại (xác suất rủi ro) cho mô hình rời rạc, khi dãy tiền thu bảo hiểm và chi trả bảo hiểm là phụ thuộc Markov. Đây là mở rộng đáng kể cho công thức tính chính xác xác suất phá sản trong [1]. 2. NỘI DUNG Trước hết, chúng tôi xin giới thiệu mô hình rủi ro có dãy tiền thu và chi trả bảo hiểm là phụ thuộc Markov. 2.1. Mô hình rủi ro nhị thức tổng quát với dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc Markov Bây giờ, chúng ta khảo sát hoạt động của công ty bảo hiểm mà việc hạch toán thu, chi, lỗ, lãi được xét theo những chu kỳ cố định cho trước (ví dụ theo tháng, theo quý hoặc theo năm…), công ty có số vốn ban đầu là u ∈  *. Tại mỗi chu kỳ t (t =1, 2,…), ta ký hiệu X t , Yt tương ứng là tổng số tiền chi trả và tổng số tiền thu bảo hiểm trong chu kỳ thứ t. Ta ký hiệu U t là thặng dư của công ty bảo hiểm ở cuối mỗi chu kỳ t, khi đó ta có biểu diễn: TẠP CHÍ KHOA HỌC − SỐ 14/2017 43 t t U t ≡ u + ∑ Yi − ∑ X i . (2.1) i =1 i =1 Thặng dư phải dương thì công ty mới có lãi, ngược lại tại cuối chu kỳ t xảy ra rủi ro nếu như U t < 0 . Ký hiệu Tu là thời điểm đầu tiên xảy ra rủi ro, Tu là một thời điểm dừng ngẫu nhiên được định nghĩa bởi: Tu := inf{t : 1 ≤ t ≤ T , Ut 0. Khi đó, xác suất thiệt hại trong (2.2) có quan hệ với xác suất không thiệt hại P (Tu ≥ t + 1) thông qua biểu thức : Ψ (u , T ) = 1 − P (Tu ≥ t + 1) . (2.3) Trong phần tiếp theo, thay cho việc tính xác suất thiệt hại, chúng ta đưa ra công thức tính chính xác xác suất không thiệt hại với mốc thời gian hữu hạn P (Tu ≥ t + 1) cho mô hình rủi ro (2.1), từ đó tính được xác suất thiệt hại tương ứng (nhờ (2.3)), khi xét dãy tiền chi trả bảo hiểm và thu bảo hiểm ( X i ) i ≥1 và (Yi )i ≥1 là phụ thuộc Markov. Điều đ ...