150 bài toán nhị thức Newton và xác suất

Cùng luyện tập với 150 bài toán nhị thức Newton và xác suất trên đây giúp các em nâng cao khả năng ghi nhớ, khả năng tính toán, phản ứng nhanh với các dạng bài tập khác nhau và luyện tập giải toán thuần thục giúp các em tự tin đạt kết quả cao tròn kì thi THPT Quốc gia 2019 sắp tới. Mời các em cùng tham khảo tài liệu.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
150 bài toán nhị thức Newton và xác suất Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán 6 Chuyên đề T T. HOÀNG GIA – 56 Phố Chợ, Tân Thành, Tân Phú: 0988985600 TỔ HỢP – XÁC SUẤT – NHỊ THỨC NEWTON Bài 1. NHỊ THỨC NEWTON


I. Kiến thức cơ bản cần nắm vững  Nhị thức Newton là khai triển tổng (hiệu) lũy thừa có dạng: n ( a + b)n = ∑ Cnk .an − k .b k = Cn0 an + Cn1 an −1 b + Cn2 an − 2 b2 + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + Cnn −1 abn −1 + Cnn bn . k =0  Nhận xét trong khai triển nhị thức: + Trong khai triển ( a ± b)n có n + 1 số hạng và các hệ số của các cặp số hạng cách đều số hạng đầu và số hạng cuối thì bằng nhau: Cnk = Cnn− k . + Số hạng tổng quát dạng: Tn +1 = Cnk .an − k .b k và số hạng thứ N thì k = N − 1 . + Trong khai triển ( a − b)n thì dấu đan nhau, nghĩa là + , rồi − , rồi + , ….… + Số mũ của a giảm dần, số mũ của b tăng dần nhưng tổng số mũ a và b bằng n. + Nếu trong khai triển nhị thức Niutơn, ta gán cho a và b những giá trị đặc biệt thì sẽ thu được những công thức đặc biệt. Chẳng hạn như: x =1 • (1 + x)n = Cn0 x n + Cn1 x n −1 + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +Cnn → Cn0 + Cn1 + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +Cnn = 2n. x =−1 • (1 − x)n = Cn0 xn − Cn1 xn −1 + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +( −1)n Cnn ⇒ Cn0 − Cn1 + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ( −1)n Cnn = 0.  Công thức hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp (thường cho kết hợp với khai triển): + Hoán vị: Pn = n ! = n.( n − 1).(n − 2)...3.2.1, (n ≥ 1). . + Chỉnh hợp: Ank = + Tổ hợp: Cnk = n! , (1 ≤ k ≤ n) . . (n − k )! Ak n! = n , (1 ≤ k ≤ n) và Cnk + Cnk +1 = Cnk ++11 . k !.( n − k )! k! II. Tìm hệ số hoặc số hạng thỏa mãn điều cho trước 1) Khai triễn dạng: (axp + bx q )n kết hợp với việc giải phương trình chứa Ank , Cnk , Pn . BT 1. Tìm số hạng không chứa x (độc lập với x) trong khai triễn của nhị thức:  a)  x +  5 12 1  , ∀x ≠ 0. x ĐS: 924.  1  b)  x 3 − 2  ⋅ x   ĐS: −8064. x 3 d)  +  ⋅ 3 x ĐS: 495.  1  f)  2 x +  , ( x > 0). 5 x  10 1  c)  2 x −  , ∀x ≠ 0. x  12 ĐS: 6528. 17 7  1  + 4 x 3  , ∀x ≠ 0. h)  ĐS: 24310.  3 2  x  Tìm hệ số của số hạng M và cho biết đó là số hạng thứ mấy trong khai triễn nhị thức:  1  g)  3 x +  , ∀x > 0. 4 x  BT 2. ĐS: 924. 18 12 1  e)  + x  , ∀x > 0. x   ĐS: −10. ĐS: 35. a) (2 x − 3 y )17 . M = x8 y9 . 9 ĐS: −39.28.C17 . b) ( x + y)25 . M = x12 y13 . 13 ĐS: C25 . c) ( x − 3)9 . M = x4 . ĐS: −35.C95 . Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn – 0933.755.607 Page - 113 - Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán T T. HOÀNG GIA – 56 Phố Chợ, Tân Thành, Tân Phú: 0988985600 d) (1 − 3x)11 . M = x6 . 6 ĐS: 36.C11 . e) (3 x − x 2 )12 . M = x15 . 3 ĐS: −39.C12 . f) ( x 2 − 2 x)10 . M = x16 . ĐS: 3360. M = x 31 . 3 ĐS: C40 .  2 h)  x 2 −  , ∀x ≠ 0. x  M = x11 . 3 ĐS: −2 3.C10 . i) ( 3 x −2 + x)7 . M = x2 . ĐS: 35.  x j)  xy +  , ∀xy ≥ 0, y ≠ 0. y  M = x6 y 2 . ĐS: 45. k) (1 + x + x 2 + x 3 )5 . M = x10 . ĐS: 101. 40  1 g)  x + 2  , ∀x ≠ 0. x   10 10 5 BT 3. 2 10 5 l) x(1 − 2 x) + x (1 + 3x) . M=x . ĐS: 3320. m) (2 x + 1)4 + (2 x + 1)5 + (2 x + 1)6 + (2 x + 1)7 . M = x5 . ĐS: 896. Tìm hệ số của số hạng thứ n trong khai triễn nhị thức, ứng với các trường hợp sau: 5  1 a)  x +  , ∀x ≠ 0. x  n = 4. ĐS: 120. b) (3 − x)15 . n = 13. ĐS: 12285.  1 c)  x −  , ∀x > 0. x  n = 6. 5 ĐS: C15 . d) (2 − 3x)25 . n = 21. 20 ĐS: 2 5.320.C25 . 15 BT 4. Tìm hệ số của một số hạng hoặc tìm một số hạng (dạng có điều kiện) a) Cho số nguyên dương n thỏa mãn Cn3 = 5Cn1 . Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị n  2 3 1  thức Newton của  x+  , x>0 ? 4 x n−5 ĐS: C74 = 35. n 2  b) Tìm hệ số của x4 trong khai triển biểu thức  − x 3  , ∀x ≠ 0, biết n là số tự nhiên thỏa mãn x   hệ thức: Cnn−−46 + n.An2 = 454 ? ĐS: n = 8; − 1792.  1 c) Tìm số hạng độc lập với x trong khai triển:  x. 3 x +  5 28 x  n n −1 n−2 thỏa mãn điều kiện: Cn + Cn + Cn = 79 ? d) Cho a = 5log 5 3 9x −1 + 7 và b = 5 1 − log 5 ( 3x−1 + 1) 5 n   , ∀x ≠ 0, biết rằng n là số tự nhiên  ĐS: 792. . Tìm các số thực x , biết rằng số hạng chứa a 3 trong khai 8 triển Newton: ( a + b) bằng 224 . ĐS: x = 1 ∨ x = 2. n x e) Tìm các giá trị của x , biết trong khai triển  2 lg(10 − 3 ) + 5 2( x − 2)lg 3  có số hạng thứ 6 bằng 21   và Cn1 + Cn3 = 2Cn2 . ĐS: x = 0 ∨ x = 2 . 2 n 2 n 2 f) Cho n là số nguyên dương thỏa mãn: 3C + 2 A = 3n + 15 . Tìm số hạng chứa x10 trong khai n  3 triển nhị thức Newton:  2 x 3 − 2  , ∀x ≠ 0 . x   4 ĐS: C10 .2 6.34.x10 . g) Cho khai triển: (1 + 2 x)n = ao + a1 x + a2 x 2 + ... + an x n với n ∈ ℕ ∗ . Biết rằng a3 = 2014 a2 . Tìm n ? Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn – 0933.755.607 ĐS: n = 6044 . Page - 114 - Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán T T. HOÀNG GIA – 56 Phố Chợ, Tân Thành, Tân Phú: 0988985600 n  2  h) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển:  3 x +  , x > 0. Biết rằng n thỏa mãn điều x  6 ĐS: C15 .26 = 320320 . kiện: Cn6 + 3Cn7 + 3Cn8 + Cn9 = 2Cn8+ 2 . n  a  i) Cho n ∈ ℤ + và a , b , (b > 0). Biết trong khai triển nhị thức Newton  + b  có hạng tử chứa  b  4 9 a b , tìm số hạng chứa tích a và b với số mũ bằng nhau ? ĐS: 5005a6 b6 . j) Cho n là số nguyên dương thỏa mãn: Cnn− 3 − Cn2−1 = Cn1 −1Cnn++32 . Tìm hệ số của số hạng chứa x11 n  n  8 ĐS: C12 .48. trong khai triển: P = x 3  xn − 8 −  , x ≠ 0. x 3   k) Cho n là số nguyên dương thỏa mãn điều kiện: 6Cnn+−11 = An2 + 160 . Tìm hệ số của x7 trong khai triển: (1 − 2 x 3 )(2 + x)n ? 2 ĐS: −2224 . 3 4 2 12 l) Cho P = (1 − x + x − x ) = ao + a1 x + a2 x + .. + a12 x . Tìm a7 ? ĐS: −40 . m) Tìm hệ số của x trong khai triển: P = x(1 − 2 x) + x (1 + 3 x) , biết rằng An2 − Cnn+−11 = 5 . n 5 2n 2 n) Cho P( x) = ( x + 1)10 ( x + 2) = x11 + a1 x10 + a2 x9 + .. + a10 x + a11 . Tìm a5 ? 20 ĐS: 3320. ĐS: 672. 10 1 1   o) Cho: P ( x ) =  x − 2  +  x 3 −  , ∀x ≠ 0. Sau khi khai triển và rút gọn thì biểu thức sẽ gồm x  x   bao nhiêu số hạng ? ĐS: 29 số hạng. 2) Khai triễn dạng: (a + b ...