Luyện tập Kỹ thuật tính lũy thừa ma trận bằng nhị thức Newton

Các bạn sinh viên đã biết 2 cách để tính lũy thừa ma trận: Một là chéo hóa ma trận, hai là sử dụng phép chia đa thức cùng với định lý Cayley Hamilton. Tuy nhiên, các phương pháp đó đều giả định ma trận phải chéo hóa được đã. Trong bài viết này sẽ dùng để xử lý tình huống ma trận không chéo hóa được. Tuy nhiên, mục đích của bài viết không phải là nghiên cứu hay vét cạn vấn đề, mà chỉ muốn đưa ra cho sinh viên ý niệm về một cách làm khả dĩ. Khi nắm được ý niệm đó, các bạn sinh viên có thể tự có tìm tòi riêng, sáng tạo riêng.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luyện tập Kỹ thuật tính lũy thừa ma trận bằng nhị thức Newton Luyện tập Kỹ thuật tính lũy thừa ma trận bằng nhị thức Newton Trần Đức Anh, mail: ducanh@hnue.edu.vn Ngày 17 tháng 4 năm 2020A. Dẫn nhậpCác bạn sinh viên đã biết 2 cách để tính lũy thừa ma trận: Một là chéo hóa ma trận, hai làsử dụng phép chia đa thức cùng với định lý Cayley Hamilton. Tuy nhiên, các phương phápđó đều giả định ma trận phải chéo hóa được đã. Kỹ thuật mà tôi trình bày trong bài viết này sẽ dùng để xử lý tình huống ma trận khôngchéo hóa được. Tuy nhiên, mục đích của bài viết không phải là nghiên cứu hay vét cạn vấnđề, mà chỉ muốn đưa ra cho sinh viên ý niệm về một cách làm khả dĩ. Khi nắm được ý niệmđó, các bạn sinh viên có thể tự có tìm tòi riêng, sáng tạo riêng. Sau đây, tôi sẽ trình bày kỹ thuật dùng nhị thức Newton, trong một tình huống rất đặcbiệt mà sẽ nói rõ ở sau.B. Nhị thức Newton cho hai ma trận giao hoánCác bạn chắc đều biết nhị thức Newton cho hai số thực, cụ thể, cho x, y là hai số thực, cho nlà số tự nhiên. Khi đó lũy thừa (x + y)n có thể khai triển thành (x + y)n = xn + Cn xn−1 y + Cn xn−2 y 2 + . . . + Cn xy n−1 + y n , 1 2 n−1 k n!trong đó Cn = k!(n−k)! là hệ số tổ hợp. Nếu thay x và y bởi các ma trận vuông A, B cùng cấp và giao hoán với nhau, thì đẳngthức trên vẫn đúng. Cụ thể, cho A, B là hai ma trận vuông cùng cấp thỏa mãn AB = BA (tanói A, B giao hoán với nhau). Khi đó (A + B)n = An + Cn An−1 B + Cn An−2 B 2 + . . . + Cn AB n−1 + B n . 1 2 n−1Tình huống hay gặp A = I với I là ma trận đơn vị cùng cấp. Khi đó, hai ma trận I, Bthỏa mãn điều kiện giao hoán và có thể khai triển được nhị thức Newton. Ngoài ra, thông thường, ta sẽ cần B là ma trận lũy linh, tức là tồn tại số k tự nhiên, saocho B k = 0. Khi đó, trong khai triển nhị thức Newton (A + B)n chỉ có các hạng tử An−i B i với 0 ≤ i ≤k − 1 (ở đây ta quy ước A0 = I). Do đó, việc tính (A + B)n quy về việc tính một số lũy thừanhỏ của B. Sau đây tôi sẽ nêu một ví dụ tính toán và sau đó các bạn sinh viên sẽ tự vận dụng để giảibài tương tự. 1C. Ví dụ  n 1 1 0Đề bài Tính lũy thừa ma trận sau 0 1 1 với n là số tự nhiên bất kỳ. 0 0 1     1 1 0 0 1 0Giải: Đặt A = 0 1 1 và N = 0 0 1 . Khi đó ta có A = I + N với I là ma trận đơn 0 0 1 0 0 0vị cùng cấp với A. Ta nhận xét N là ma trận lũy linh. Thật vậy, ta tính các lũy thừa của N  2   0 1 0 0 0 1 2 0 N = 0 1 = 0 0 0 , 0 0 0 0 0 0  3   0 1 0 0 0 0 3 0 N = 0 1 = 0 0 0 . 0 0 0 0 0 0 Bây giờ ta sẽ áp dụng nhị thức Newton (lưu ý là điều kiện giao hoán IN = N I = N đãđược thỏa mãn): An = (I + N )n = I n + Cn I n−1 N 1 + Cn I n−2 N 2 + . . . + Cn IN n−1 + N n 1 2 n−1 = I + Cn N + Cn N 2 (Do N i = 0 với mọii ≥ 3). 1 2 Thay số trực tiếp vào ta có  n      2 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 n(n − 1)  1 = 0 1 0 + n 0 0 1 + 0 0 1 2 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0       1 0 0 0 1 0 0 0 1 n(n − 1)  = 0 1 0 + n 0 0 1 + 0 0 0 2 0 0 1 0 0 0 0 0 0 n n(n−1)   1 2 = 0 1 n . ...