Danh mục

Luyện tập Kỹ thuật tính lũy thừa ma trận bằng phép chia đa thức

Số trang: 4      Loại file: pdf      Dung lượng: 166.48 KB      Lượt xem: 35      Lượt tải: 1    
Thư viện của tui

Phí lưu trữ: miễn phí Tải xuống file đầy đủ (4 trang) 1
Xem trước 2 trang đầu tiên của tài liệu này:

Thông tin tài liệu:

Tài liệu "Luyện tập Kỹ thuật tính lũy thừa ma trận bằng phép chia đa thức" gồm có những nội dung: Dẫn nhập, định lý Cayley-Hamilton và phép chia đa thức, vận dụng phép chia đa thức như thế nào để tính được lũy thừa ma trận? Quy trình tính lũy thừa ma trận bằng phép chia đa thức. Mời các bạn cùng tham khảo để biết thêm nội dung chi tiết!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luyện tập Kỹ thuật tính lũy thừa ma trận bằng phép chia đa thức Luyện tập Kỹ thuật tính lũy thừa ma trận bằng phép chia đa thức Trần Đức Anh, mail: ducanh@hnue.edu.vn Ngày 16 tháng 4 năm 2020A. Dẫn nhậpCho A là ma trận vuông cấp n. Khi đó ta định nghĩa lũy thừa bậc k của A (với k là số tựnhiên), ký hiệu là Ak , là tích k lần của ma trận A, tức là Ak = A · A · . . . · A . k lần Lũy thừa của ma trận xuất hiện tự nhiên trong tính toán, ví dụ trong việc giải phươngtrình vi phân. Vì vậy, nắm được kỹ thuật lũy thừa là một việc hữu ích. Có hai cách khả dĩ để thực hiện lũy thừa: Một là thông qua chéo hóa ma trận. Hai làthông qua định lý Cayley-Hamilton và phép chia đa thức.Thông qua chéo hóa ma trận Giả sử A chéo hóa được. Khi đó tồn tại ma trận C khảnghịch, sao cho   λ1  λ2  C −1 AC =  .    ...  λn   λk1  λk2  Đặt D = C −1 AC. Ta suy ra A = CDC −1 và Dk =  .   ..  .  k λn Do đó, Ak = (CDC −1 )k = (CD C −1 ) · (C D C −1 ) · (C DC −1 ) · . . . · (CDC −1 ). triệt tiêu triệt tiêu Ta suy ra Ak = CDk C −1 . Như vậy, nếu xác định được ma trận C thì ta hoàn toàn có thểtính được lũy thừa bậc k của A nhờ các thông tin từ quá trình chéo hóa. Trong bài viết này, tôi muốn trình bày cho các bạn sinh viên cách thứ hai để tính lũy thừama trận, đó là thông qua định lý Cayley-Hamilton và phép chia đa thức, với mục đíchgiúp các bạn sinh viên mở rộng kỹ thuật tính toán. 1B. Định lý Cayley-Hamilton và phép chia đa thứcKhái niệm đa thức của ma trận Đa thức (1 biến) là một biểu thức có dạng f (x) =c0 xn + c1 xn−1 + . . . + cn−1 x + cn với ci là các số và x là ẩn. Xét A là ma trận vuông. Ta định nghĩa f (A) = c0 An + c1 An−1 + . . . + cn−1 A + cn I với I ởcuối là ma trận đơn vị cùng cấp. Khi đó f (A) là một ma trận vuông cùng cấp với A và biểuhiện nhiều tính chất từ A.Định lý (Cayley-Hamilton (thừa nhận, không chứng minh)). Cho A là ma trận vuông nàođó. Ký hiệu PA (x) = det(A − xI) là đa thức đặc trưng của A. Khi đó PA bị triệt tiêu bởi A,tức là PA (A) = 0 (lưu ý: 0 ở đây là ma trận 0 cùng cấp với A). Tiếp theo là ta trình bày về phép chia đa thức.Phép chia đa thức Nếu các bạn còn nhớ phép chia số học thông thường, tức là nếu bạncó hai số tự nhiên a, b, và bạn đem số này chia cho số kia, bạn sẽ thu được thương và một sốdư. Điều tương tự cũng xảy ra với đa thức. Cụ thể như sau: Cho f (x), g(x) là hai đa thức không tầm thường (tức không ≡ 0). Khi đó, tồn tại duynhất đa thức q(x) và r(x) thỏa mãn f (x) = g(x)q(x) + r(x) và bậc của r(x) nhỏ hơn hẳnbậc của g(x) (ý tô đậm này quan trọng).C. Vận dụng phép chia đa thức như thế nào để tính được lũy thừa ma trận?Giả sử ta có ma trận A và được yêu cầu tính lũy thừa Ak . Ta thấy là Ak chính là đa thứcf (A) với f (x) = xk . Bây giờ ta chia f (x) cho đa thức đặc trưng PA (x). Khi đó, tồn tại duy nhất đa thức q(x)và r(x) sao cho f (x) = PA (x)q(x) + r(x), trong đó r(x) là đa thức dư có bậc nhỏ hơn bậc củaPA (x). Ta thay x = A vào biểu thức, lưu ý rằng PA (A) = 0, và thu được Ak = f (A) = PA (A)q(A) + r(A) = 0 · q(A) + r(A) = r(A). Như vậy, việc tính lũy thừa Ak quy về xác định đa thức dư r(x).Câu hỏi Việc làm này có giúp giảm phức tạp tính toán không? Câu trả lời là có. Lý do: thông thường, k là một số lớn. Trong khi đó, bậc của r(x) bé hơnbậc của PA (x), và bậc của PA (x) bằng cấp của ma trận A. Do đó tính r(A) sẽ quy về tính lũy thừa bậc nhỏ của A. Điều này hoàn toàn khả dĩ nhờtính bằng tay, hoặc dùng công cụ tính toán online.Câu hỏi Xác định r(x) như thế nào? Giả sử A là ma trận vuông cấp n. Khi đó r(x) là đa thức bậc < n. Như vậy ta phải xácđịnh n hệ số của r(x) = c0 + c1 x + c2 x2 + . . . + cn−1 xn . Để xác định các hệ số này, t ...

Tài liệu được xem nhiều: