Bài tập Nhập môn luỹ thừa ma trận tuần 13-17/4/2020: Kỹ thuật chéo hóa ma trận

Bài tập Nhập môn luỹ thừa ma trận tuần 13-17/4/2020: Kỹ thuật chéo hóa ma trận gồm có những nội dung chính sau: Hai kết quả về tính chéo hóa được, quy trình đầy đủ về chéo hóa ma trận, bài tập vận dụng. Mời các bạn cùng tham khảo để biết thêm nội dung chi tiết!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài tập Nhập môn luỹ thừa ma trận tuần 13-17/4/2020: Kỹ thuật chéo hóa ma trận Bài tập NMLT Ma trận tuần 13-17/4/2020: Kỹ thuật chéo hóa ma trận Trần Đức Anh, mail: ducanh@hnue.edu.vn Ngày 15 tháng 4 năm 2020A. Hai kết quả về tính chéo hóa đượcMệnh đề 1. Cho A là ma trận vuông cấp n. Nếu A có n giá trị riêng phân biệt, thì A chéohóa được.Mệnh đề 2. Nếu A là ma trận đối xứng thực, tức là A = AT và A có hệ số thực, thì A luônchéo hóa được. Đối với các bạn sinh viên năm 1, khi mới học, thì chỉ cần lưu ý hai kết quả này thôi. Vàtừ đây, trong tờ bài tập này, ta sẽ giới hạn chỉ nghiên cứu cách chéo hóa đối với ma trận A cótất cả các giá trị riêng phân biệt. Trường hợp A có giá trị riêng bội không xét ở đây!B. Quy trình đầy đủ về chéo hóa ma trậnTa giả sử A là ma trận vuông cấp n có n giá trị riêng phân biệt. Khi đó ta cần tìm ma trậnC khả nghịch sao cho C −1 AC có dạng đường chéo (và ta biết đường chéo đó gồm các giá trịriêng của A). Về bản chất, ma trận C gồm n cột, mỗi cột là một vector riêng của A ứng vớimột giá trị riêng của A. Ta tóm tắt các bước làm như sau:Các bước chéo hóa ma trận, trong trường hợp các giá trị riêng phân biệt • Bước 1: Xác định tất cả các giá trị riêng của A. Để làm điều đó, ta cần tính đa thức PA (x) = det(A − xI) trong đó I là ma trận đơn vị cùng cấp. Tập các giá trị riêng của A là toàn bộ nghiệm của PA (x) (đa thức PA (x) được gọi là đa thức đặc trưng của A). • Bước 2: Với mỗi giá trị riêng của A (giả sử A có các giá trị riêng là λ1 , λ2 , . . . , λn ,)  dụ ví  x1  x2  λi , ta giải hệ phương trình tuyến tính tương ứng: (A − λi I)X = 0 trong đó X =  .    .. xn là ma trận cột các ẩn cần tìm. Giải hệ phương trình này, và lấy ra 1 nghiệm khác (0, 0, . . . , 0). Ký hiệu nghiệm đó là Ci , viết dưới dạng ma trận cột n × 1. • Bước 3: Cấu tạo ma trận C = [C1 |C2 | · · · |Cn ] là ma trận vuông cấp n, mà cột thứ i chính là Ci tìm được ở bước 2. 1 • Bước 4 - kết luận: Ma trận C khả nghịch (không cần kiểm tra tính khả nghịch) và thỏa mãn   λ1  λ2  C −1 AC =  .    ...  λnC. Ví dụ 3 1Đề bài Hãy chéo hóa ma trận A = . 1 3Giải: Đầu tiên, ta tính đa thức đặc trưng của A 3−x 1 PA (x) = = (3 − x)2 − 1 = (2 − x)(4 − x). 1 3−x Như vậy, A có hai giá trị riêng phân biệt là 2 và 4. Bước 2: Ta xác định 1 vector riêng ứng với giá trị riêng λ = 2. Tức là ta phải giải hệphương trình tuyến tính (A − 2I)X = 0, tức là 1 1 x 0 · = . 1 1 y 0 Giải ra ta thu được x + y = 0. Chọn một nghiệm không tầm thường là (1, -1). Cấu tạo 1cột thứ nhất C1 = . −1 Tiếp theo, với giá trị riêng thứ hai λ = 4, ta phải giải hệ −1 1 x 0 · = , 1 −1 y 0điều này tương đương với x = y. 1 Chọn cột hai C2 = . 1 1 1 Bước 3: Cấu tạo ma trận C = . −1 1 2 0 Kết luận: C −1 AC = . 0 4D. Bài tập vận dụngHãy chéo hóa các ma trận sau 4 2(a) . 2 1 1 0(b) 6 −1 2   −30 −55 −59(c)  15 28 27 3 5 8   26 28 −10(d) −23 −25 8 7 8 −1 3 ...