Bài tập Đại số tuyến tính - Chương 3

Bài tập Đại số tuyến tính - Chương 3 trình bày các bài tập phép biến đổi tuyến tính, không gian Imf- Kerf - ma trận của phép BĐTT, trị riêng - véc tơ riêng, ma trận của Phép BĐTT trong cơ sở gồm các VTR, chéo hóa ma trận, chéo hóa ma trận...
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài tập Đại số tuyến tính - Chương 3 Phép biến đổi tuyến tính Bài 1: Chứng minh f : R 2 → R 2 , f (x, y ) = (x + y , 2x − y ) là một phép biến đổi tuyến tính Bài 2: Chứng minh f : P2 [x] → P2 [x], f (p(x)) = f (ax 2 + bx + c) = p 0 (x)(x + 1) là 1 phép biến đổi tuyến tính TS. GVC. Trịnh Thị Minh Hằng (BM Toán) Ngày 9 tháng 5 năm 2020 1/5 Không gian Imf- Kerf - ma trận của phép BĐTT Bài 3: Cho f : R 3 → R 3 , f (x, y , z) = (4x − 2y + 2z, 2x − y + z, z) là một phép biến đổi tuyến tính a)Tìm Imf, Kerf b) Tìm ma trận của f trong cơ sở chính tắc E Bài 4: Chứng minh f : P2 [x] → P2 [x], f (p(x)) = f (ax 2 + bx + c) = p 00 (x)(x + 1) a) Tìm Imf, Kerf b) Tìm ma trận của f trong cơ sở chính tắc E TS. GVC. Trịnh Thị Minh Hằng (BM Toán) Ngày 9 tháng 5 năm 2020 2/5 Trị riêng- Véc tơ riêng Bài 5: Cho f : R 2 → R 2 , f (x, y ) = (x + 3y , 3x + y ) là một phép biến đổi tuyến tính a) Tìm ma trận của f trong cơ sở chính tắc b) Tìm trị riêng, véc tơ riêng của f c) Viết cơ sở B gồm các véc tơ riêng của f , tìm [f ]B d) Tìm ma trận chuyển cơ sở từ cơ sở chính tắc E sang cơ sở B TS. GVC. Trịnh Thị Minh Hằng (BM Toán) Ngày 9 tháng 5 năm 2020 3/5 Ma trận của Phép BĐTT trong cơ sở gồm các VTR Bài 6 Cho f : R 3 → R 3 , f (x, y , z) = (4x + 5y , 5x + 4y , 6z) là một phép biến đổi tuyến tính a) Tìm ma trận của f trong cơ sở chính tắc b) Tìm trị riêng, véc tơ riêng của f c) Viết cơ sở B gồm các véc tơ riêng của f , Tìm [f ]B d) Tìm ma trận chuyển cơ sở từ cơ sở chính tắc E sang cơ sở B e) Viết biểu thức liên hệ giữa [f ]B , [f ]E Bài 7: Cho f : R 2 → R 2 , f (1, 1) = (7, 1), f (1, −1) = (−2, 2) a) Tìm trị riêng, véc tơ riêng của f b) Tìm Imf , Kerf TS. GVC. Trịnh Thị Minh Hằng (BM Toán) Ngày 9 tháng 5 năm 2020 4/5 Chéo hóa ma trận Bài 8: Cho f : P2 [x] → P2 [x], f (1) = 2 − x, f (x) = −1 + 2x, f (x 2 ) = 1 − x + x 2 a) Tìm ma trận của f trong cơ sở chính tắc E = {1, x, x 2 } b) Tìm Imf , Kerf c) Tìm giá trị riêng, véc tơ riêng của f d) Ma trận [f ]E có chéo hóa được không? Bài 9:   2 −1 2 Cho f : R 3 → R 3 , [f ]B =  5 −3 3 , trong đó −1 0 −2 B = {b1 = (1, 1, 0), b2 = (0, 1, 1), b3 = (0, −1, 2) là 1 cơ sở của R 3 a) [f ]B có chéo hóa được không? b) Tìm f (x, y , z) c) Tìm Imf , Kerf TS. GVC. Trịnh Thị Minh Hằng (BM Toán) Ngày 9 tháng 5 năm 2020 5/5