Thông tin tài liệu:
Bài viết này tóm tắt lại những gì đã giảng trong buổi học đầu tiên sau Covid (6 tháng Năm 2020). Trong bài này, ta tóm tắt các bước chéo hóa ma trận vuông có giá trị riêng bội. Trước đây ta đã trình bày cách chéo hóa ma trận trong trường hợp nó có các giá trị riêng phân biệt đôi một. Mời các bạn cùng tham khảo để biết thêm nội dung chi tiết!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Chéo hóa ma trận có giá trị riêng bội Chéo hóa ma trận có giá trị riêng bội Trần Đức Anh, mail: ducanh@hnue.edu.vn Ngày 6 tháng 5 năm 2020A. Dẫn nhập Bài viết này tóm tắt lại những gì đã giảng trong buổi học đầu tiên sau Covid (6 thángNăm 2020). Trong bài này, ta tóm tắt các bước chéo hóa ma trận vuông có giá trị riêng bội.Trước đây ta đã trình bày cách chéo hóa ma trận trong trường hợp nó có các giá trị riêngphân biệt đôi một.B. Điều kiện chéo hóa đượcĐịnh nghĩa 1. Cho A là ma trận vuông cấp n. Khi đó đa thức đặc trưng của A, được kýhiệu là PA (t), được định nghĩa là PA (t) = det(A − tI). Đây là một đa thức bậc n (cùng cấpvới A). Các nghiệm của PA (t) được gọi là các giá trị riêng của A. Theo lý thuyết đại số, cụ thể định lý Gauss, mỗi đa thức đều có đủ nghiệm (chỉ có điều làta tính cả số phức). Nếu ký hiệu λ1 , λ2 , . . . , λn là các nghiệm của PA (t) thì ta luôn có phântích nhân tử PA (t) = (λ1 − t) · (λ2 − t) · . . . · (λn − t). Hoàn toàn có thể xảy ra trường hợp mà các nghiệm λi giống nhau, trong trường hợp đó,ta gọi nghiệm λi là nghiệm bội của PA (t). Khi đó, ta có thể viết lại phân tích nhân tử như sau PA (t) = (λ1 − t)s1 · (λ2 − t)s2 · . . . · (λk − t)sk ,trong đó λ1 , λ2 , . . . , λk đôi một phân biệt. Khi đó, ta gọi si là bội (đại số) của λi .Định nghĩa 2. λi được gọi là giá trị riêng của A, có bội (đại số) bằng si .Nhận xét: Với trị riêng λi của A, các vector riêng của A tương ứng với λi là các mỗi giá x1 x2 ma trận cột X = . thỏa mãn hệ phương trình tuyến tính .. xn (A − λi I)X = 0. Khi giải ra nghiệm của hệ này, ta sẽ thấy nghiệm sẽ được biểu diễn bởi một số tham số. 1Định nghĩa 3. Nếu số tham số nhỏ nhất có thể trong biểu diễn nghiệm của hệ phương trìnhtuyến tính (A − λi I)X = 0 là ri , thì ta nói tập các vector riêng ứng với giá trị riêng λi có bội(hình học) là ri .Mệnh đề 4. Với mỗi giá trị riêng λi , bội hình học không vượt quá bội đại số, và bội hình họcluôn là số dương, tức là 1 ≤ ri ≤ si . Ta có tiêu chuẩn chéo hóa như sau:Mệnh đề 5. Ma trận A là chéo hóa được khi và chỉ khi bội hình học của mỗi giá trị riêngbằng bội đại số của chính giá trị riêng đó. Từ mệnh đề này, ta thấy tại sao ma trận vuông có tất cả các giá trị riêng phân biệt lạichéo hóa được. Lý do: khi các giá trị riêng của A là phân biệt, thì bội đại số bằng 1, và dobất đẳng thức liên hệ giữa bội đại số và hình học ở trên, thì ta suy ra bội hình học cũng bằng1. Do vậy, ma trận có các giá trị riêng phân biệt luôn chéo hóa được.C. Quy trình chéo hóa đối với ma trận có giá trị riêng lặp Giả sử A chéo hóa được và A có các giá trị riêng lặp (tức bội đại số >1). Quy trình chéohóa là như sau: • Bước 1: Xác định các giá trị riêng của A. • Bước 2: Với mỗi giá trị riêng λ, giải hệ phương trình tuyến tính ứng với các vector riêng (A − λI)X = 0. • Bước 3: Với mỗi nghiệm ở bước 2, ta tách thành các cột riêng biệt, mỗi cột chứa đúng 1 tham số trong biểu diễn nghiệm ở bước 2. • Bước 4: Các cột thu được, ta cấu tạo thành ma trận C. Khi đó C −1 AC có dạng chéo mong muốn.D. Bài tập vận dụng 29 −21 −151. Biết ma trận 27 −19 −15 chéo hóa được, và có giá trị riêng lặp. Hãy thực hiện quá 9 −7 −3trình chéo hóa ma trận đó. 2