5 loại bất đẳng thức

Trong toán học, bất đẳng thức tam giác là một định lý phát biểu rằng trong một tam giác chiều dài của một cạnh phải nhỏ hơn tổng, nhưng lớn hơn hiệu, của hai cạnh còn lại. Bất đẳng thức là một định lý trong các không gian như hệ thống các số thực, tất cả các không gian Euclide, các không gian Lp (p≥1) và mọi không gian tích trong. Bất đẳng thức cũng xuất hiện như là một tiên đề trong định nghĩa của nhiều cấu trúc trong giải tích toán học và giải tích hàm, chẳng hạn...
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
5 loại bất đẳng thức Bất đẳng thức tam giácTrong toán học, bất đẳng thức tam giác là một định lý phát biểu rằng trong một tamgiác chiều dài của một cạnh phải nhỏ hơn tổng, nhưng lớn hơn hiệu, của hai cạnh còn lại.Bất đẳng thức là một định lý trong các không gian như hệ thống các số thực, tất cả cáckhông gian Euclide, các không gian Lp (p≥1) và mọi không gian tích trong. Bất đẳng thứccũng xuất hiện như là một tiên đề trong định nghĩa của nhiều cấu trúc trong giải tích toánhọc và giải tích hàm, chẳng hạn trong các không gian vectơ định chuẩn và các không gianmetric.Không gian vectơ định chuẩnTrong không gian vectơ định chuẩn V, bất đẳng thức tam giác được phát biểu như sau: ||x+ y|| ≤ ||x|| + ||y|| với mọi x, y thuộc V tức là, chuẩn của tổng hai vectơ không thể lớnhơn tổng chuẩn của hai vectơ đó.Đường thẳng thực là một không gian vectơ định chuẩn với chuẩn là giá trị tuyệt đối, vìthế có thể phát biểu bất đẳng thức tam giác cho hai số thực bất kỳ x và y như sau:Trong giải tích toán học, bất đẳng thức tam giác thường được dùng để ước lượng chặntrên tốt nhất cho giá trị tổng của hai số, theo giá trị của từng số trong hai số đó.Cũng có một ước lượng chặn dưới mà có thể tìm được bằng cách dùng bất đẳng thức tamgiác đảo chiều, mà phát biểu rằng với bất kỳ hai số thực x và y:[Không gian metricTrong không gian metric M với metric là d, bất đẳng thức tam giác có dạng d(x, z) ≤ d(x,y) + d(y,z) với mọi x, y, z thuộc Mtức là, khoảng cách từ x đến z không thể lớn hơn tổng các khoảng cách từ x đến y vớikhoảng cách từ y đến z.Hệ quảNgười ta thường sử dụng một hệ quả sau đây của bất đẳng thức tam giác, thay vì cho cậntrên hệ quả này cho cận dưới: | ||x|| - ||y|| | ≤ ||x - y|| hay phát biểu theo metric | d(x, y) - d(x, z) | ≤ d(y, z)điều này cho thấy chuẩn ||–|| cũng như hàm khoảng cách d(x, –) là 1-Lipschitz và do đó làhàm liên tục.Sự đảo chiều trong không gian MinkowskiTrong không gian Minkowski thông thường hay trong các không gian Minkowski mởrộng với số chiều tùy ý, giả sử các vectơ không và các vectơ giống-thời-gian có cùngchiều thời gian, bất đẳng thức tam giác bị đảo chiều: ||x + y|| ≥ ||x|| + ||y|| với mọi x, y thuộc V sao cho ||x|| ≥ 0, ||y|| ≥ 0 và tx ty ≥ 0 Bất đẳng thức CauchyBài này viết về bất đẳng thức trung bình cộng và trung bình nhân. Để xem bài viết về bấtđẳng thức trong tích vectơ, xem Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz.Trong toán học, bất đẳng thức Cauchy, bất đẳng so sánh giữa trung bình cộng và trungbình nhân của n số thực không âm được phát biểu như sau: Trung bình cộng của n số thực không âm luôn lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân của chúng, và trung bình cộng chỉ bằng trung bình nhân khi và chỉ khi n số đó bằng nhau. • Với 2 số: Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b • Với n số: Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khiTổng quát hóaTrung bình có hệ sốCho n số x1, x2, ..., xn ≥ 0và các hệ số α1, α2, ..., αn > 0.Đặt .Bất đẳng thức trung bình cộng và trung bình nhân cũng đúng nếu hai giá trị trung bình cóhệ số, như sau:Dấu = xảy ra khi và chỉ khiVới các loại trung bình khácTrung bình điều hòa ≤ trung bình nhân ≤ trung bình cộngĐẳng thức khi và chỉ khiỨng dụng trong lý thuyết toánbat dang thuc nay rat phu hop voi viec danh gia tu trung binh cong sang tb nhanỨng dụng trong các lĩnh vực khácViệc sử dụng bất đẳng thức giúp chúng ta rất nhiều trong việc giải các phương trình vô tỉ. Bất đẳng thức BunyakovskyBất đẳng thức Bunhia hay còn gọi là Bất đẳng thức Bunyakovsky được VictorYakovlevich Bunyakovsky đưa ra để chứng minh các bất đẳng thức trong toán học.Một số dạng cơ bảnBất đẳng thức Bunyakovsky dạng thông thường • (a² + b²)(c² + d²) ≥ (ac + bd)² • Bất đẳng thức này dễ dàng chứng minh bằng cách khai triển, rút gọn và biến đổi thành: (ad - bc)² ≥ 0 • Dấu = xảy ra khiBất đẳng thức Bunyakovsky cho 2 bộ số • Với hai bộ số (a1;a2;...;an) và (b1;b2;...;bn) ta có : • Dấu = xảy ra khi và chỉ khi với quy ước nếu một số bi nào đó (i = 1, 2, 3,..., n) bằng 0 thì ai tương ứng bằng 0. Bất đẳng thức BernoulliTrong toán học, bất đẳng thức Bernoulli là một bất đẳng thức cho phép tính gần đúngcác lũy thừa của 1 + x.Bất đẳng thức này được phát biểu như sau:với mọi số nguyên r ≥ 0 và với mọi số thực x > −1. Nếu số mũ r là chẵn, thì bất đẳng thứcnày đúng với mọi số thực x. Bất đẳng thức này trở thành bất đẳng thức nghiêm ngặt nhưsau:với mọi số nguyên r ≥ 2 và với mọi số thực x ≥ −1 với x ≠ 0.Bất đẳng thức Bernoulli thường được dùng trong việc chứng minh các bất đẳng thứckhác. Bản thân nó có thể được chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học:Ch ...