Báo cáo nghiên cứu khoa học: Kết hợp phương pháp chiếu và hàm phạt giải bài toán bất đẳng thức biến phân đơn điệu

Tham khảo luận văn - đề án 'báo cáo nghiên cứu khoa học: "kết hợp phương pháp chiếu và hàm phạt giải bài toán bất đẳng thức biến phân đơn điệu"', luận văn - báo cáo phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Báo cáo nghiên cứu khoa học: "Kết hợp phương pháp chiếu và hàm phạt giải bài toán bất đẳng thức biến phân đơn điệu" KÕt hîp ph­¬ng ph¸p chiÕu vµ hµm ph¹t gi¶i bµi to¸n bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n ®¬n ®iÖu §Ëu Xu©n L­¬ng (a) Tãm t¾t. Trong bµi b¸o nµy, chóng t«i kÕt hîp ph­¬ng ph¸p hµm ph¹t ([2]) vµ ph­¬ng (D, F ), ph¸p chiÕu ®Ó gi¶i mét líp c¸c bµi to¸n bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n, kÝ hiÖu VIP D lµ mét tËp con låi ®ãng kh¸c rçng cña Rn , F : K → Rn lµ mét hµm ®¬n ®iÖu trong ®ã vµ liªn tôc Lipschitz trªn miÒn K chøa D . Tr­íc tiªn, bµi to¸n ban ®Çu ®­îc ®­a vÒ mét d·y c¸c bµi to¸n bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n trªn miÒn K chøa D , trong ®ã K tháa m·n tÝnh chÊt h×nh chiÕu Euclid cña mét ®iÓm bÊt kú lªn K cã c«ng thøc tÝnh ®¬n gi¶n. TiÕp ®ã, sö dông ph­¬ng ph¸p chiÕu ®Ó gi¶i d·y c¸c bµi to¸n nµy. Khi ®ã, nÕu miÒn D tháa m·n mét vµi gi¶ thiÕt nhÊt ®Þnh, th× ®iÓm giíi h¹n bÊt kú cña d·y nghiÖm cña c¸c bµi to¸n nµy lµ mét nghiÖm cña bµi to¸n ban ®Çu. B»ng c¸ch nµy, ta lo¹i bá ®­îc khã kh¨n khi tÝnh to¸n h×nh chiÕu trong c¸c thuËt to¸n chiÕu gi¶i bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n. Chóng t«i còng ®­a ra mét vµi vÝ dô ®Ó minh häa ph­¬ng ph¸p nµy. Giíi thiÖu 1. D ⊂ Rn F : Rn → Rn . Cho lµ mét tËp låi ®ãng kh¸c rçng vµ mét ¸nh x¹ XÐt bµi to¸n bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n sau: x∗ ∈ D, sao cho F (x∗ ), x − x∗ 0 ; ∀x ∈ D. (V IP (D, F )) T×m TËp nghiÖm cña VIP(D, F ) ®­îc kÝ hiÖu lµ SOL-VIP(D, F ). F f , th× bµi to¸n VIP(D, F ) t­¬ng ®­¬ng víi NÕu lµ ®¹o hµm cña mét hµm låi bµi to¸n t×m cùc tiÓu cña f trªn D . Tuy nhiªn kh«ng ph¶i mäi bµi to¸n bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n VIP(D, F ) ®Òu t­¬ng ®­¬ng víi bµi to¸n quy ho¹ch låi. BÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n cã nhiÒu øng dông réng r·i trong thùc tÕ: c¸c bµi to¸n c©n b»ng m¹ng giao th«ng ([5]), c¸c bµi to¸n c©n b»ng kinh tÕ ([6]), c¸c bµi to¸n c©n b»ng di c­ ([7]), c¸c bµi to¸n c©n b»ng tµi chÝnh, m¹ng kiÕn thøc ([8]), v.v. ®Òu cã thÓ m« t¶ d­íi d¹ng mét bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n. Ph­¬ng ph¸p chiÕu ([1]) lµ mét ph­¬ng ph¸p c¬ b¶n vµ kh¸ hiÖu qu¶ ®Ó gi¶i c¸c F bµi to¸n bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n víi gi¶ thiÕt gi¶ ®¬n ®iÖu vµ liªn tôc. Trë ng¹i chÝnh trong ph­¬ng ph¸p nµy lµ viÖc tÝnh to¸n h×nh chiÕu lªn mét tËp låi bÊt kú kh«ng D hÒ ®¬n gi¶n. §ã lµ mét bµi to¸n quy ho¹ch toµn ph­¬ng víi miÒn x¸c ®Þnh låi. NÕu D kh«ng cã h×nh d¹ng ®Æc biÖt th× viÖc x¸c ®Þnh h×nh chiÕu lªn sÏ gÆp khã kh¨n. Mét c¸ch tiÕp cËn ®Ó gi¶i quyÕt khã kh¨n nµy lµ kü thuËt hµm ph¹t cho phÐp ®­a bµi to¸n bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n trªn miÒn låi ®ãng bÊt kú vÒ c¸c bµi to¸n bÊt K ®¼ng thøc trªn mét miÒn chøa miÒn låi ban ®Çu. ý t­ëng cña chóng t«i lµ ®èi víi VIP(D, F ) trong ®ã D lµ mét miÒn låi ®ãng bÊt 1 NhËn bµi ngµy 08/8/2008. Söa ch÷a xong 30/9/2008. kú, tr­íc tiªn dïng ph­¬ng ph¸p hµm ph¹t ®Ó ®­a nã vÒ mét d·y c¸c bµi to¸n trªn mét K D, sau ®ã dïng ph­¬ng ph¸p chiÕu ®Ó gi¶i mçi bµi to¸n trªn K . MiÒn K miÒn chøa ®­îc x¸c ®Þnh sao cho viÖc tÝnh to¸n h×nh chiÕu cña mét ®iÓm lªn K lµ dÔ dµng. Trong tr­êng hîp K lµ h×nh hép, h×nh cÇu hay kh«ng gian con, v× phÐp chiÕu cña mét ®iÓm lªn K cã c«ng thøc hiÓn ®¬n gi¶n nªn trë ng¹i chÝnh cña ph­¬ng ph¸p ®­îc kh¾c phôc. KiÕn thøc chuÈn bÞ 2. 2.1. C¸c kÕt qu¶ vÒ sù tån t¹i vµ tÝnh duy nhÊt nghiÖm cña bµi to¸n VIP(D,F) §Þnh lý 1.([1]) (i). NÕu D lµ tËp låi comp¨c kh¸c rçng vµ F liªn tôc trªn D th× VIP(D, F) cã Ýt nhÊt mét nghiÖm. F (x) − F (x), x − x =∞ F lim (ii). NÕu tho¶ m·n ®iÒu kiÖn bøc ||x − x|| x∈D;||x||→∞ x∈D nµo ®ã, th× bµi to¸n VIP(D, F ) lu«n cã nghiÖm. víi F : D → Rn , F §Þnh nghÜa 1.([1]) (i). Cho D ®­îc gäi lµ ®¬n ®iÖu trªn nÕu F (x) − F (y ), x − y 0 ; ∀x, y ∈ D. F D (ii). ®­îc gäi lµ ®¬n ®iÖu ngÆt trªn nÕu F (x) − F (y ), x − y > 0 ; ∀x, y ∈ D; x = y. F D α > 0 sao cho (iii). ®­îc gäi lµ ®¬n ®iÖu m¹nh trªn nÕu tån t¹i α||x − y ||2 ; ∀x, y ∈ D. F (x) − F (y ), x − y F D L > 0 sao cho (iv). ®­îc gäi lµ liªn tôc Lipschitz trªn nÕu tån t¹i ||F (x) − F (y )|| ...