50 Bài toán hình học lớp 9

Tài liệu học tập tham khảo môn toán hình học lớp 9 dành cho học sinh hệ Trung học cơ sở học tập và tham khảo.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
50 Bài toán hình học lớp 950 bµi to¸n h×nh häc líp 9 50 bµi to¸n h×nh häc líp 9B i 1. Cho tam gi¸c ABC cã ba gãc nhän néi tiÕp ®−êng trßn (O). C¸c ®−êng cao AD, BE, CF c¾t nhau t¹iH v c¾t ®−êng trßn (O) lÇn l−ît t¹i M,N,P. A NChøng minh r»ng: 1. Tø gi¸c CEHD, néi tiÕp . 1 2. Bèn ®iÓm B,C,E,F cïng n»m trªn mét ®−êng trßn. E 3. AE.AC = AH.AD; AD.BC = BE.AC. P F 1 2 4. H v M ®èi xøng nhau qua BC. O 5. X¸c ®Þnh t©m ®−êng trßn néi tiÕp tam gi¸c DEF. H -Lêi gi¶i: 1 (1. XÐt tø gi¸c CEHD ta cã: B D 2 ( C 0 - ∠ CEH = 90 ( V× BE l ®−êng cao) ∠ CDH = 900 ( V× AD l ®−êng cao) M => ∠ CEH + ∠ CDH = 1800 M ∠ CEH v ∠ CDH l hai gãc ®èi cña tø gi¸c CEHD , Do ®ã CEHD l tø gi¸c néi tiÕp2. Theo gi¶ thiÕt: BE l ®−êng cao => BE ⊥ AC => ∠BEC = 900. CF l ®−êng cao => CF ⊥ AB => ∠BFC = 900. Nh− vËy E v F cïng nh×n BC d−íi mét gãc 900 => E v F cïng n»m trªn ®−êng trßn ®−êng kÝnh BC. VËy bèn ®iÓm B,C,E,F cïng n»m trªn mét ®−êng trßn.3. XÐt hai tam gi¸c AEH v ADC ta cã: ∠ AEH = ∠ ADC = 900 ; ¢ l gãc chung AE AH => ∆ AEH ∼ ∆ADC => = => AE.AC = AH.AD. AD AC * XÐt hai tam gi¸c BEC v ADC ta cã: ∠ BEC = ∠ ADC = 900 ; ∠C l gãc chung BE BC => ∆ BEC ∼ ∆ADC => = => AD.BC = BE.AC. AD AC 4. Ta cã ∠C1 = ∠A1 ( v× cïng phô víi gãc ABC) ∠C2 = ∠A1 ( v× l hai gãc néi tiÕp cïng ch¾n cung BM) => ∠C1 = ∠ C2 => CB l tia ph©n gi¸c cña gãc HCM; l¹i cã CB ⊥ HM => ∆ CHM c©n t¹i C => CB còng l ®−¬ng trung trùc cña HM vËy H v M ®èi xøng nhau qua BC. 5. Theo chøng minh trªn bèn ®iÓm B,C,E,F cïng n»m trªn mét ®−êng trßn => ∠C1 = ∠E1 ( v× l hai gãc néi tiÕp cïng ch¾n cung BF) Còng theo chøng minh trªn CEHD l tø gi¸c néi tiÕp ∠C1 = ∠E2 ( v× l hai gãc néi tiÕp cïng ch¾n cung HD) ∠E1 = ∠E2 => EB l tia ph©n gi¸c cña gãc FED.Chøng minh t−¬ng tù ta còng cã FC l tia ph©n gi¸c cña gãc DFE m BE v CF c¾t nhau t¹i H do ®ã H lt©m ®−êng trßn néi tiÕp tam gi¸c DEF.B i 2. Cho tam gi¸c c©n ABC (AB = AC), c¸c ®−êng cao AD, BE, c¾t nhau t¹i H. Gäi O l t©m ®−êng trßnngo¹i tiÕp tam gi¸c AHE. A 1. Chøng minh tø gi¸c CEHD néi tiÕp . 2. Bèn ®iÓm A, E, D, B cïng n»m trªn mét ®−êng trßn. 1 1 3. Chøng minh ED = BC. O 2 1 4. Chøng minh DE l tiÕp tuyÕn cña ®−êng trßn (O). 2 E 5. TÝnh ®é d i DE biÕt DH = 2 Cm, AH = 6 Cm. H 3Lêi gi¶i: 1. XÐt tø gi¸c CEHD ta cã: B 1 D C 0 ∠ CEH = 90 ( V× BE l ®−êng cao) 150 bµi to¸n h×nh häc líp 9 ∠ CDH = 900 ( V× AD l ®−êng cao) => ∠ CEH + ∠ CDH = 1800 M ∠ CEH v ∠ CDH l hai gãc ®èi cña tø gi¸c CEHD , Do ®ã CEHD l tø gi¸c néi tiÕp2. Theo gi¶ thiÕt: BE l ®−êng cao => BE ⊥ AC => ∠BEA = 900. AD l ®−êng cao => AD ⊥ BC => ∠BDA = 900. Nh− vËy E v D cïng nh×n AB d−íi mét gãc 900 => E v D cïng n»m trªn ®−êng trßn ®−êng kÝnh AB. VËy bèn ®iÓm A, E, D, B cïng n»m trªn mét ®−êng trßn.3. Theo gi¶ thiÕt tam gi¸c ABC c©n t¹i A cã AD l ®−êng cao nªn còng l ®−êng trung tuyÕn=> D l trung ®iÓm cña BC. Theo trªn ta cã ∠BEC = 900 . 1VËy tam gi¸c BEC vu«ng t¹i E cã ED l trung tuyÕn => DE = BC. 24. V× O l t©m ®−êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c AHE nªn O l trung ®iÓm cña AH => OA = OE => tam gi¸c AOE c©n t¹i O => ∠E1 = ∠A1 (1). 1Theo trªn DE = BC => tam gi¸c DBE c©n t¹i D => ∠E3 = ∠B1 (2) 2M ∠B1 = ∠A1 ( v ...