Một số bất đẳng thức cơ bản ứng dụng vào bất đẳng thức hình học - 2

Bất đẳng thức nesbit và ứng dụng của nó trong bất đẳng thức hình học.Nếu a, b, c thì ta luôn có bất đẳng thức. Ta chứng minh bất đẳng thức trên như sau:Ta xét biểu thức sau:S = M = N =
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Một số bất đẳng thức cơ bản ứng dụng vào bất đẳng thức hình học - 2 . Chứng minh rằng1. Cho ( đúng theo Côsi).Đẳng thức xảy ra đều.2. Chứng minh với mọi ta có ( đẳng thức xảy ra )Lại cóĐẳng thức xảy ra hoặc .3. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của ĐặtTa có : .Khi đóXét hàm sốSuy ra : .Vậy ,chẳng hạn khi4. Trong các số thực thỏa mãn hệ thức . để cho biểu thức đạt giá trị lớn nhất. Xác định giá trị lớn nhất đo.Hãy tìm đạt giá trị lớn nhất 15. Tùy theo giá trị của m, hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức và đạt dấu = khi thỏa mãnHệ này có hệ có nghiệm khi .Vậy khiVới .Đặ tvà đạt dấu = khiVậy là độ dài trung tuyến, là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác . Chứng minh6. Chorằng . Đẳng thức xảy ra đều. .7. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị bé nhất của hàm số :Ta có :Đặ t Điều kiện :Ta có :Thay vào biểu thức của y ta được : 2 + đồng biến trên ( vì ).Vậy là 2 nghiệm của phương trình:8.Với giá trị nào của thì biểu thức đạt giá trị lớn nhất .Điều kiện để phương trình có nghiệm là :Ta có :Khi đó : Vì nên VậyDo đó , khi .9. Tìm giá trị nhỏ nhất của : vớiĐặ t thì . Khi đó :XétTa có :Xét bảng biến thiên: là ba số thay đổi, nhận giá trị thuộc đoạn [0 ; 2]. Chứng minh rằng:10. ChoDo giả thiết 3 Đẳng thức xảy ra chẳng hạn khi (đpcm) . Tìm giá trị nhỏ nhất của:11. ChoÁp dụng Côsi cho trường hợp 2 số và trường hợp 3 số, ta có: Vậy GTNN của P là . Dấu =12. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số:Đặ t với . .- N ếu nghịch biến trong .- N ếu đồng biến tròn- N ếu thì có bbtVậyKết luận . 413. Giả sử là hai số dương thỏa mãn điều kiệnTìm giá trị nhỏ nhất của tổng . Giá trị đạt được khi Vậy14. Chứng minh: ta có:Nhận xét:Dấu “ ” xảy ra15. Cho 3 số dương thoả mãn Chứng minh:Ta có:16. Chứng minhTa có: ” xảy ra BĐT đã cho đúng, “ 5 . Chứng minh17. ChoTa có: bất đẳng thức đã chođúng, dấu “ ” xảy ra18. Chứng minh Dấu xảy ra19 Chứng minh rằngTa có: Dấu xảy ra20. Chứng minh rằng với mọi số dương ta luôn có bất đẳng thứcVìTương tự:Do đó vế trái bất đẳng thức cần chứng minh không lớn hơn : (đpcm).Đẳng thức xảy ra . thoả mãn ...