Bất đẳng thức (BDT) Erdos-Mordell

Bất đẳng thức (BDT) Erdos-Mordell là một BDT khá nổi tiếng trong tam giác, được nhà toán học Paul Erdos đề xuất năm 1935 và lời giải đầu tiên đưa ra là của Louis Mordell sử dụng định lí hàm số Cos. Trong bài viết này tôi xin được giới thiệu với các bạn một số lời giải do tôi tìm ra hoặc sưu tầm được . Đây chắc chắn không phải là tất cả các lời giải cho BDT này, rất mong nhận được sự trao đổi của các bạn. Các bạn có thể gửi lời giải vào hòm...
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bất đẳng thức (BDT) Erdos-Mordell Nguyễn Mạnh Dũng, High School for Gifted Students, HUS, Việt NamLời nói đầuBất đẳng thức (BDT) Erdos-Mordell là một BDT khá nổi tiếng trong tam giác, được nhàtoán học Paul Erdos đề xuất năm 1935 và lời giải đầu tiên đưa ra là của Louis Mordell sửdụng định lí hàm số Cos. Trong bài viết này tôi xin được giới thiệu với các bạn một số lờigiải do tôi tìm ra hoặc sưu tầm được .Đây chắc chắn không phải là tất cả các lời giải cho BDT này, rất mong nhận được sự traođổi của các bạn. Các bạn có thể gửi lời giải vào hòm thư: nguyendunghus@gmail.comHoặc post trực tiếp vào topic: http://mathscope.org/forum/showthread.php?t=4913Rất mong nhận được sự quan tâm của các bạn, -1-Nguyễn Mạnh Dũng, High School for Gifted Students, HUS, Việt NamBất đẳng thức Erdos-Mordell:Cho tam giác ABC bất kì có 3 cạnh là a, b, c và điểm M nằm trong tamgiác. Đặt AM = x, BM = y, CM = z và từ M kẻ các đường vuông góc MD,ME, MF xuống các cạnh BC, CA, AB có độ dài lần lượt là p, q, r. Khiđó ta có: x + y + z ≥ 2( p + q + r )Dấu đẳng thức xảy ra khi ∆ABC đều. -2-Nguyễn Mạnh Dũng, High School for Gifted Students, HUS, Việt NamHướng chứng minh thứ nhất: b c c a a bTa sẽ chứng minh x ≥ r +q , y ≥ p +r ,z ≥q + p a a b b c cSau đó áp dụng BDT Cô-si cho 2 số dương: a bx + y + z ≥ ∑ r  +  ≥ ∑ 2r = 2 ( p + q + q ) Trong đó kí hiệu ∑ chỉ tổng hoán vị. b aTa cùng theo dõi các lời giải sau: ALời giải 1. x E F r Mq ha z y p B C DGọi ha là độ dài đường cao xuất phát từ A.Ta có: 2S ( ABC ) = aha = ap + bq + cr . Do ha ≤ x + p nên a ( x + p ) ≥ aha . b c⇒ ax ≥ bq + cr ⇒ x ≥ q + r . Tương tự ta có đpcm. a aLời giải 2. A F E B M B D C CTừ B và C kẻ các đường vuông góc BB’, CC’ tới đường thẳng AM. Dễ thấy∆AFM ~ ∆AB B và ∆AEM ~ ∆AC C nên: r BB q CC = ⇒ r.c = x.BB và = ⇒ qb = x.CC x c x bSuy ra r.c + q.b = x ( BB + CC ) ≤ x.a -3-Nguyễn Mạnh Dũng, High School for Gifted Students, HUS, Việt NamLời giải 3. A F E C M B D C B x    Kẻ tia Ax đối xứng với tia AM qua phân giác góc A ⇒ MAC = BAB , MAB = CAC Từ B và C kẻ các đường vuông góc BB’, CC’ tới tia Ax. Ta có:     q a ≥ BB + CC = AB.sin BAB + AC.sin CAC = c.sin MAC + b.sin MAB = c. + b. r x x b cSuy ra ax ≥ cq + br hay x ≥ r + q , đpcm. a aLời giải 4. A E F M E F B C D P  Lấy điểm P thuộc cạnh BC sao cho BAD = PAC . Ta có:AP.BC ≥ 2 S ( ABC ) = 2 S ( PAB ) + 2 S ( PAC ) = PE .b + PF .cVới E’, F’ là chân các đường vuông góc kẻ từ P xuống AB, AC. PE b PF c PE ...