Lời giải và hướng dẫn bài tập đại số sơ cấp - Chương 3

Tham khảo tài liệu 'lời giải và hướng dẫn bài tập đại số sơ cấp - chương 3', khoa học tự nhiên, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Lời giải và hướng dẫn bài tập đại số sơ cấp - Chương 3 CHƯƠNG III. BẤT ĐẲNG THỨC – BẤT PHƯƠNG TRÌNH III.1. 1) a) a 2 + b 2 + 1 ≥ ab + a + b (1) a2 b2 a 2 1 b2 1 (1) ⇔ − ab + + − a + + − b + ≥ 0 2 2 2 22 2 1 2  ( )( )( ) 2 2 2  a − 2ab + b + a − 2a + 1 + b − 2b + 1  ≥ 0 ⇔ 2 1 ⇔ ( a − b ) + ( a − 1) + ( b − 1)  ≥ 0 2 2 2 2  a − b = 0  ⇒ (Đpcm). Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a − 1 = 0 ⇔ a = b = 1. b − 1 = 0  b) a 2 + b2 + 4 ≥ ab + 2 ( a + b ) (2) a2 b2 a2 b2 (2) ⇔ − ab + + − 2a + 2 + − 2b + 2 ≥ 0 2 22 2 1 2 a − 2ab + b 2 + a 2 − 4a + 4 + b 2 − 4b + 4  ≥ 0 ( )( )( ) ⇔ 2  1 ⇔ ( a − b ) + ( a − 2 ) + ( b − 2 )  ≥ 0. 2 2 2 2  a − b = 0  ⇒ (Đpcm). Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a − 2 = 0 ⇔ a = b = 2. b − 2 = 0  a2 + b 2 + c 2 ≥ ab − ac + 2bc (3) c) 4 a2 − a ( b − c ) + c 2 − 2bc + b 2 ≥ 0 (3) ⇔ 4 a (b − c ) a2 2 + (b − c ) ≥ 0 −2 ⇔ 4 2 2 a  ⇔  − b + c  ≥ 0. 2  ⇒ (Đpcm). a − b + c = 0 ⇔ a = 2 (b − c ) . Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 2 x 2 + xy + y 2 + y 2 + yz + z 2 + z 2 + zx + x 2 ≥ 3 ( x + y + z ) . 2) 2 2 ( x + y ) 3 (1)  x+ y   x− y x 2 + xy + y 2 = 3  Ta có + ≥  2 2 2 151 Tương tự ( y + z) ( z + x) 3 3 y 2 + yz + z 2 ≥ (2), z 2 + zx + x 2 ≥ (3) 2 2 Cộng các bất đẳng thức (1), (2), (3) theo vế ta được x 2 + xy + y 2 + y 2 + yz + z 2 + z 2 + zx + x 2 ≥ 3 ( x + y + z ) . (Đpcm)  1 1 1  3( a − b ) (b − c ) (c − a ) 3) ( a + b + c )  + +  + ≥ 9. (1) a b c abc Ta có (1) tương đương với  3( a − b) (b − c ) ( c − a ) a b  b c  c a  + − 2 +  + − 2 +  + − 2 + ≥0 b a  c b  a c  abc 2 2 2 ⇔ c ( a − b ) + a ( b − c ) + b ( c − a ) + 3 ( a − b )( b − c )( c − a ) ≥ 0.(*) ( ) Ta sử dụng kết quả: x 3 + y 3 + z 3 − 3 xyz = ( x + y + z ) x 2 + y 2 + z 2 − xy − yz − zx Với x + y + z = 0 ⇒ x 3 + y 3 + z 3 = 3xyz. Với x = a − b; y = b − c; z = c − a. 2 2 2 (*) được viết lại ( a − b ) ( c + a − b ) + ( b − c ) ( a + b − c ) + ( c − a ) ( b + c − a ) ≥ 0. (**) Do a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác nên (**) đúng. Vậy, ta có điều phải chứng minh. x+ y 2 4) ( x + y ) + ≥ 2x y + 2 y x. 2 2 1 1  Ta có  x −  ≥ 0 ⇒ x − x + ≥ 0(1) 2 4  Tương tự 1 ≥ 0(2) y− y + 4 Cộng các bất đẳng thức (1), (2) theo vế ta được 1 x+ y ( ) ( ) 2 ≥ 0 ⇒ ( x + y) + ≥ ( x + y) x + y (3) x+ y− x+ y + 2 2 x+ y 2 Mà x + y ≥ 2 xy , nên (3) ...