Ánh xạ liên tục

Giải tích cơ sở - Chuyên ngành: Giải tích, PPDH Toán - Phần 1: Không gian Metric - Bài 3: Ánh xạ liên tục
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Ánh xạ liên tục GI I TÍCH (CƠ S ) Chuyên ngành: Gi i Tích, PPDH Toán Ph n 1. Không gian metric §3. Ánh x liên t c (Phiên b n đã ch nh s a) PGS TS Nguy n Bích Huy Ngày 20 tháng 12 năm 2004Tóm t t lý thuy t1 Đ nh nghĩaCho các không gian metric (X, d), (Y, ρ) và ánh x f : X → Y • Ta nói ánh x f liên t c t i đi m x0 ∈ X n u ∀ε > 0, ∃δ > 0 : ∀x ∈ X, d(x, x0 ) < δ =⇒ ρ(f (x), f (x0 )) < ε • Ta nói f liên t c trên X n u f liên t c t i m i x ∈ X2 Các tính ch tCho các không gian metric (X, d), (Y, ρ) và ánh x f : X → Y .Đ nh lí 1. Các m nh đ sau tương đương 1. f liên t c t i x0 ∈ X 2. ∀{xn } ⊂ X (lim xn = x0 ) =⇒ lim f (xn ) = f (x0 ) 1H qu . N u ánh x f : X → Y liên t c t i x0 và ánh x g : Y → Z liên t c t i y0 = f (x0 )thì ánh x h p g ◦ f : X → Z liên t c t i x0 .Đ nh lí 2. Các m nh đ sau tương đương 1. f liên t c trên X 2. V i m i t p m G ⊂ Y thì t p ngh ch nh f −1 (G) là t p m trong X . 3. V i m i t p đóng F ⊂ Y thì t p f −1 (F ) là t p m trong X .3 Ánh x m , ánh x đóng, ánh x đ ng phôiCho các không gian metric X , Y và ánh x f : X → Y . • Ánh x f g i là ánh x m (đóng) n u v i m i t p m (đóng) A ⊂ X thì nh f (A) là t p m (đóng). • Ánh x f g i là ánh x đ ng phôi n u f là song ánh liên t c và ánh x ngư c f −1 : Y → X liên t c.4 M t s các h th c v nh và nh ngư cCho các t p X , Y khác tr ng và ánh x f : X → Y . V i các t p A, Ai ⊂ X và B, Bi ⊂ Y , tacó Ai ) ⊂ 1. f ( Ai ) = f (Ai ), f( f (Ai ) i∈I i∈I i∈I i∈I 2. f −1 ( f −1 (Bi ), f −1 ( f −1 (Bi ) Bi ) = Bi ) = i∈I i∈I i∈I i∈I −1 −1 −1 (B1 B2 ) = f (B1 ) f f (B2 ) 3. f (f −1 (B )) ⊂ B (= n u f là toàn ánh) f −1 (f (A)) ⊃ A (= n u f là đơn ánh)Bài t pBài 1. Trong không gian C[a,b] , ta xét metric d(x, y ) = sup |x(t) − y (t)| và trong R ta xét a≤t≤bmetric thông thư ng. Ch ng minh các ánh x sau đây liên t c t C[a,b] vào R. 2 1. f1 (x) = inf x(t) a≤t≤b b x2 (t)dt 2. f2 (x) = a 1. Ta s ch ng minh |f1 (x) − f1 (y )| ≤ d(x, y )Gi i. (*) Th t v y f1 (x) ≤ x(t) = y (t) + (x(t) − y (t)) ≤ y (t) + d(x, y ) ∀t ∈ [a, b] =⇒ f1 (x) − d(x, y ) ≤ y (t), ∀t ∈ [a, b] =⇒ f1 (x) − d(x, y ) ≤ f1 (y ) f1 (x) − f1 (y ) ≤ d(x, y ) hay Tương t , ta có f1 (y ) − f1 (x) ≤ d(x, y ) nên (*) đúng. T đây, ta th y ∀{xn }, lim xn = x =⇒ lim f1 (xn ) = f1 (x) n→∞ n→∞ 2. Xét tùy ý x ∈ C[a,b] , {xn } ⊂ C[a,b] mà lim xn = x, ta c n ch ng minh lim f2 (xn ) = f2 (x) Ta có |x2 (t) − x2 (t)| = |xn (t) − x(t)|.|xn (t) − x(t) + 2x(t)| n ≤ d(xn , x).[d(xn , x) + M ] (M = sup 2|x(t)|) a≤t≤b b |x2 (t) − x2 (t)|dt =⇒ |f2 (xn ) − f2 (x)| ≤ n a ≤ d(xn , x)[d(xn , x) + M ](b − a) Do lim d(xn , x) = 0 nên t đây ta có lim f2 (xn ) = f2 (x) (đpcm)Ghi chú. Ta có th dùng các k t qu v ánh x liên t c đ gi i bài t p 3 (§2). Ví d , đ ch ngminh t p M = {x ∈ C[a,b] : x(t) > x0 (t), ∀t ∈ [a, b]} (x0 ∈ C[a,b] cho trư c )là t p m , ta có th làm như sau. Xét ánh x f : C[a,b] → R, f (x) = inf (x(t) − x0 (t)) a≤t≤bTa c ...