Ánh xạ liên tục trên không gian topo

Chương 1 ÁNH XẠ LIÊN TỤC TRÊN KHÔNG GIAN TÔPÔ TỔNG QUÁTA. Kiến thức chuẩn bị: 1. Định nghĩa tôpô: Cho tập X ≠ Ø. Một họ các tập con của X được gọi là một tôpô trên X nếu nó thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau: a) X và Ø ; là thuộc ; . cũng thuộc b) Hợp tùy ý các tập thuộc c) Giao hữu hạn các tập thuộc (X, ).Một tập X được trang bị một tôpô trên nó được gọi là một không gian tôpô, kí hiệu Nếu chỉ ký hiệu không gian...
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Ánh xạ liên tục trên không gian topoz  Ánh xạ liên tục trên không gian topoÁnh xạ liên tục trên không gian tôpô SV: Đào Thanh B ìnhChương 1 ÁNH XẠ LIÊN TỤC TRÊN KHÔNG GIAN TÔPÔ TỔNG QUÁTA. Kiến thức chuẩn bị: 1. Định nghĩa tôpô: Cho tập X ≠ Ø. Một họ các tập con của X được gọi là một tôpô trên X nếu nó thỏamãn đồng thời các điều kiện sau: a) X và Ø ; b) Hợp tùy ý các tập thuộc là thuộc ; c) Giao hữu hạn các tập thuộc cũng thuộc . Một tập X được trang bị một tôpô trên nó được gọi là một không gian tôpô, kí hiệu(X, ). Nếu chỉ ký hiệu không gian tôpô l à X thì ta ngầm hiểu rằng trên X đã được trang bịmột tôpô nào đó. 2. Tập mở, tập đóng, lân cận: Cho không gian tôpô (X, ). a) Mọi tập thuộc được gọi là tập mở; tập có phần bù là tập mở gọi là tập đóng. b) Với mỗi điểm x X, tập V X được gọi là lân cận của x nếu tồn tại tập mở Gtrong X sao cho x G V. Nhận xét: G là tập mở khi và chỉ khi nó là lân cận của mọi điểm thuộc nó. c) Họ tất cả các lân cận của điểm x được gọi là hệ lân cận của x, ký hiệu x. Họ x x được gọi là một cơ sở lân cận của điểm x nếu V x, B x saocho x B V. 3. Các loại điểm, phần trong, bao đóng: Cho không gian tôpô (X, ), x X và tập A X. a) Các loại điểm: -3-Ánh xạ liên tục trên không gian tôpô SV: Đào Thanh B ình - x gọi là điểm trong của A nếu tồn tại tập mở G sao cho x G A. - x gọi là điểm ngoài của A nếu tồn tại tập mở G sao cho x G X A. - x gọi là điểm biên của A nếu V x, V A ≠ Ø, và V (X A) ≠ Ø. - x gọi là điểm dính của A nếu V x, V A ≠ Ø. - x goi là điểm cô lập của A nếu V x: V A = Ø. Nếu A = X thì x là điểm côlập của A nếu tập {x} là tập mở. b) Phần trong của tập A, ký hiệu là int A hoặc A o , là tập tất cả các điểm trong của A.Nói cách khác, phần trong của A là tập mở lớn nhât chứa trong A. c) Bao đóng của tập A, ký hiệu A , là tập đóng bé nhất trong X chứa A. 4. Tập hợp trù mật, không gian khả ly: a) Trong không gian tôpô X, t ập con A của X được gọi là trù mật trong X nếu A = X. Nếu int A = Ø thì A gọi là tập thưa ( hay tập không đâu trù mật). b) Không gian tôpô (X, ) là không gian khả ly nếu tồn tại một tập A X sao cho Akhông quá đếm được và A = X, tức là A trù mật trong X. 5. Tập thuộc phạm trù:: Không gian tôpô X gọi là thuộc phạm trù thứ nhất nếu X bằng hợp đếm được các tậpkhông đâu trù mật. Không gian không thuộc phạm trù thứ nhất gọi là thuộc phạm trù thứ hai. 6. Không gian T1, T2 và không gian chuẩn tắc: a) Không gian tôpô X được gọi là T1 - không gian nếu hai điểm x, y khác nhau bất k ìcủa X đều có một lân cận của x không chứa y v à một lân cận của y không chứa x. b) Không gian tôpô X được gọi là không gian Hausdorff (hay T 2 - không gian) nếu bấtkì hai điểm khác nhau x, y X đều tồn tại một lân cận U của x v à lân cận V của y saocho U V = Ø. c) Không gian tôpô X được gọi là không gian chuẩn tắc (hay T 4 – không gian) nếu Xlà T1 – không gian và với hai tập đóng bất kì A, B không giao nhau của X luôn tồn tại cáctập mở U và V sao cho A U, B V và U V = Ø. 7. Không gian tôpô tổng, tích, thương: Cho ( X , ) I là họ các không gian tôpô. -4-Ánh xạ liên tục trên không gian tôpô SV: Đào Thanh B ình a) Tổng: Đặt X = X . Xét họ = {G X: G X , I}. Khi đó, là một tôpô Itrên X và (X, ) là không gian tôpô tổng của họ không gian tôpô đ ã cho, ký hiệuX= X . I Nếu họ X I rời nhau từng đôi thì tổng gọi là tổng trực tiếp, ký hiệu X = I X . Ký hiệu i : X X , i ( x ) = x, là phép nhúng chính t ắc. b) Tích Descartes: Đặt X = I X và :X X là phép chiếu (hay ánh xạ tọa độ thứ ). Gọi là tôpô yếu nhất để tất cả các phép chiếu liên tục (định nghĩa ánh xạ liêntục sẽ được trình bày sau trong chương này). Khi đó, (X, ) gọi là không gian tôpô tíchcủa họ không gian đã cho. c) Không gian thương: Cho không gian tôpô (X, ) và một quan hệ tương đương R trên X. Ký hiệu X/R làtập thương của X theo quan hệ tương đương R. Xét ánh xạ : X X/R xác định bởi (x) = x , với x là lớp tương đương chứa x. Khi đó, gọi là phép chiếu chính tắc và dễthấy là toàn ánh. -1 Trên X/R, dễ thấy họ = {V X/R: ...