Ánh xạ tuyến tính liên tục- ôn thi cao học

Ánh xạ tuyến tính liên tục- ôn thi cao học là tài liệu mang tính chất tham khảo, giúp ích trong việc tự học, ôn thi, tạo tâm thế vững vàng, có thể tự đánh giá và nâng cao vốn kiến thức, giúp trong các kỳ thi sắp tới. Tác giả hy vọng tài liệu này sẽ giúp ích cho các bạn.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Ánh xạ tuyến tính liên tục- ôn thi cao học GI I TÍCH (CƠ S ) Chuyên ngành: Gi i Tích, PPDH Toán Ph n 2. Không gian đ nh chu n Ánh x tuy n tính liên t c §2. Ánh X Tuy n Tính Liên T c (Phiên b n đã ch nh s a) PGS TS Nguy n Bích Huy Ngày 1 tháng 3 năm 2006 PH N LÝ THUY T1. S liên t c c a c a ánh x tuy n tính : Ánh x tuy n tính liên t c gi a các không gian đ nh chu n có t t c các tính ch t c a m t ánh x liên t c gi a các không gian metric. Ngoài ra nó còn có các tính ch t đ c bi t nêu trong đ nh lý sau : Đ nh lý 1 : Gi s X, Y là các không gian đ nh chu n trên cùng m t trư ng s và A : X −→ Y là m t ánh x tuy n tính. Các m nh đ sau là tương đương : (a) A liên t c t i m t đi m nào đó c a X. (b) A liên t c trên X. (c) T n t i s M > 0 sao cho A(x) Y M ||x||X ∀x ∈ X2. Chu n c a ánh x tuy n tính liên t c. Không gian L(X, Y ) (a) N u A : (X, ||.||X ) −→ (Y, ||.||Y ) là ánh x tuy n tính liên t c thì ta đ nh nghĩa chu n c a A b i : ||A(x)||Y ||A|| = sup x∈X ||x||X x=0 T đ nh nghĩa này, ta d th y các tính ch t sau : i. ||A|| = sup ||A(x)||Y = sup ||A(x)||Y ||x||X ≤1 ||x||X =1 1 ii. N u A tuy n tính liên t c thì ||A(x)||Y ||A||.||x||X , ∀x ∈ X iii. N u A tuy n tính và t n t i s dương M sao cho ||A(x)||Y M.||x||X , ∀x ∈ X thì A liên t c và ||A|| M (b) Ta ký hi u L(X, Y ) là t p t t c các ánh x tuy n tính liên t c t X vào Y . L(X, Y ) tr thành không gian đ nh chu n n u ta đ nh nghĩa chu n c a m i A ∈ L(X, Y ) như trên và các phép toán như sau : (A + B)(x) = A(x) + B(x) (λA)(x) = λA(x), x∈X Đ nh lý 2 : N u Y là không gian Banach thì L(X, Y ) là không gian Banach. 3. Phi m hàm tuy n tính liên t c • M t ánh x tuy n tính t không gian đ nh chu n X vào trư ng s K cũng còn g i là m t phi m hàm tuy n tính. Đ nh lý 3 : Cho f : (X, ||.||) −→ K là phi m hàm tuy n tính. Các m nh đ sau là tương đương : (a) f liên t c t i m t đi m nào đó c a X. (b) f liên t c trên X. (c) ∃M > 0 : |f (x)| M.||x|| ∀x ∈ X (d) Kerf = {x ∈ X : f (x) = 0} là không gian con đóng. • Không gian L(X, K) t t c các phi m hàm tuy n tính liên t c trên X thư ng ký hi u là X ∗ và g i là không gian liên h p c a X. T đ nh lý 2 ta có X ∗ là không gian Banach v i chu n |f (x)| ||f || = sup x=θ ||x|| PH N BÀI T PBài 1Cho các không gian đ nh chu n (X, ||.||X ), (Y, ||.||Y ) v i dim X = n và A : X −→ Y là ánhx tuy n tính. Ch ng minh : 1. A liên t c. 2. T n t i di m xo ∈ X sao cho : ||xo ||X = 1, ||A|| = ||A(xo )||Y Gi i 2 1. Gi s e = {e1 , . . . , en } là m t cơ s c a X và ||.||e là chu n Euclide sinh b i cơ s e n (xem§1). V i x = λk ek , ta có : k=1 1 1 n n 2 n 2 ||A(x)||Y ≤ |λk |.||A(ek )|| ≤ |λk |2 . ||A(ek )||2 k=1 k=1 k=1 ||x||e M Như v y t n t i s M ≥ 0 th a mãn : ||A(x)||Y ≤ M.||x||e Vì X h u h n chi u nên ||.||e ∼ ||.||X và có s a > 0 sao cho : ||x||e ≤ a||x||X , ∀x ∈ X. T đây ta có : ||A(x)||Y ≤ M a||x||X , ∀x ∈ X Do đó A liên t c. 2. Ta có : ||A|| = sup ||A(x)||Y , ||x||X =1 ánh x x −→ ||A(x)||Y liên t c trên (X, ||.||X ), t p S = {x ∈ X : ||x||X = 1} là t p ...