Áp dụng phép phân tích trực chuẩn phân tích dữ liệu trong bài toán dòng chảy rối

Trong bài viết này tác giả sử dụng phương pháp POD snapshot khi kích cỡ của biến thời gian nhỏ hơn đáng kể so với kích cỡ của biến không gian để phân tích dữ liệu số của bài toán dòng chảy rối đối với trường hợp sự bất ổn định Kelvin-Helmholtz.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Áp dụng phép phân tích trực chuẩn phân tích dữ liệu trong bài toán dòng chảy rốiTuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2023. ISBN: 978-604-82-7522-8 ÁP DỤNG PHÉP PHÂN TÍCH TRỰC CHUẨN PHÂN TÍCH DỮ LIỆU TRONG BÀI TOÁN DÒNG CHẢY RỐI Nguyễn Đức Hậu Trường Đại học Thủy lợi, email: ndhau.dhtl@tlu.edu.vn1. GIỚI THIỆU CHUNG Bài toán cần giải quyết trở thành bài toán cực tiểu hóa sai số theo nghĩa tìm được các Trong các bài toán phân tích dữ liệu số hay modes  i  H    trực chuẩn sao cho cựcdữ liệu thu được từ thực nghiệm, phươngpháp phân tích trực chuẩn theo giá trị riêng tiểu hóa sai số sau: N POD(POD) được sử dụng khi xấp xỉ một hệ cácphương trình có số chiều lớn thành hệ có cỡ u  X    u,     X  i 1 i ,nhỏ hơn. Phương pháp này được sử dụng đầu trong đó . là trung bình theo thời gian củatiên trong bài toán phân tích dữ liệu bởi tập hợp các dữ liệu ban đầu.Lumley [1] năm 1967 để xác định cấu trúc Bài toán cực tiểu hóa trên dẫn đến bài toáncủa dòng chảy rối và sau đó xây dựng một cực đại hóa sau: Xác định các véc tơ đơn vịmô hình rút gọn có thể xấp xỉ được năng trên không gian H*    H    \ 0 sao cholượng của dòng chảy. Sau đó phương pháp có cực đại hóa sau:POD còn dùng để xấp xỉ hệ phương trình  u,   2Navier-Stokes nhằm xây dựng lại và kiểm max .soát dòng chảy. Phương pháp POD sẽ xác H *    ,  định một hệ sơ sở trực chuẩn để xấp xỉ (một Để giải quyết bài toán cực đại trên, ta xétcách tối ưu) các dữ liệu ban đầu là tập hợp toán tử tuyến tính:rời rạc hoặc liên tục có cỡ lớn. K : H   H 2. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU   K      C  X,. ,   X   , Cho các dữ liệu dạng u ( X) xác định trên với C  X, X   u  X  u  X  là ten sơ tươngkhông gian Hilbert H    với  là một miền giao.không gian và thời gian   X   0,T  với Toán tử K là toán tử đối xứng, không âm nghĩa là ,   H    ta có:T > 0. H là không gian L2    với tích vôhướng:  K  ,     , K   ,   ,       X    X  dX .  K,    0 .  Áp dụng định lý Riesz toán tử tuyến tính Ta xác định một hệ cơ sở trực chuẩn để có K có vô hạn các giá trị riêng thực không âmmột xấp xỉ tốt nhất của u trong không gian có thể được sắp theo thứ giảm dầncon với số chiều là N POD dạng: 1  2  ...  0, và N POD  u  X    u, i  i  X  . i 1  i 1 i  . 84 Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2023. ISBN: 978-604-82-7522-8 Nhận thấy rằng các hàm riêng của K là Giá trị riêng i  ai 2 tương ứng với độngtrực giao. Trực chuẩn hóa các hàm riêng thì năng trung bình sinh ra bởi mode thứ i . Độngbài toán cực đại hóa trên trở thành tìm  H * sao cho: năng toàn phần của cả bài toán là:    K ,    max  K ,   .  C  X , X  dX   ai 2   i  E .  ,   H *   ,   H i 1 i 1 Động năng sinh ra đối với hệ cơ sở POD là: Cho F :    được định nghĩa bởi: N POD F      K      ,     . EN POD   . i 1 i    ,     Có hai tiêu chuẩn để đánh giá một hệ cơ sở Dễ thấy rằng: POD. Tiêu chuẩn thứ nhất là sai số: F     F  0  và F  0   0 . N POD 2 Do đó: S  N POD   u   u,  i   i  X  .  K,   ,  . i 1  ,      ...