Bài 3: Các bất đẳng thức liên quan tới lũy thừa mũ hữu tỷ hoặc mũ vô tỷ

Nhằm giúp các bạn có thêm tài liệu phục vụ nhu cầu học tập và nghiên cứu, mời các bạn cùng tham khảo nội dung bài 3 "Các bất đẳng thức liên quan tới lũy thừa mũ hữu tỷ hoặc mũ vô tỷ" dưới đây. Nội dung tài liệu cung cấp cho các bạn những câu hỏi bài tập về bất đẳng thức liên quan tới lũy thừa mũ hữu tỷ hoặc mũ vô tỷ.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài 3: Các bất đẳng thức liên quan tới lũy thừa mũ hữu tỷ hoặc mũ vô tỷBài 3. CÁC BẤT ĐẲNG THỨC LIÊN QUAN TỚI LŨY THỪA MŨ HỮU TỶ HOẶC MŨ VÔ TỶ1/Định lý 1. a-Nếu x  -1 và 0 <  1 thì: (1 + x)  1 + x (2)Dấu bằng ở (1) và (2) xảy ra khi và chỉ khi x = 0. mChứng minh. a.Trước hết ta giả sử rằng  là số hữu tỷ và theo giả thiết 0 <  Ta lấy một số hữu tỷ r sao cho  < r < 1, khi đó bđt 1  x  có thể viết lại như sau  r 1  x  = 1  x  r       Vì 0 < < 1 nên như ta đã chứng minh ở trên 1  x  r  1  x r rDo đó r  1  x   1    x  r  r     Nếu x  0, thì  1  x  < 1 + r x = 1 + x tức là 1  x   1 + x  phần (a) của định lý 1 đã cm xong!  r  rTa chuyển đến cm phần b. b. Nếu 1 + x < 0 thì bđt (2) luôn luôn đúng vì vế trái của nó không âm còn vế phải là một giá trị âm. Còn nếu 1 + x  0  x  -1 thì ta sẽ xét hai trường hợp sau: b1- Khi  > 1 theo phần (a) của định lý đã được cm ở trên, ta có 1 1 1   x    1 x = 1 + x (3)  Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = 0. Nâng cả hai vế của (3) lên lũy thừa , ta được (1 + x)  (1 + x) b2- Trường hợp thứ hai: Khi  < 0. Nếu 1 + x < 0 thì bđt (2) hiển nhiên đúng.  Còn nếu 1 + x  0 thì ta chọn một số nguyên dương n sao cho  < 1. n Do phần (a) của định lý, ta có    1  x  n  1 x , n  1  1  x  n    1 x (4) 1 x n n 2 2 (Bất đẳng thức (4) đúng, vì 1  1 - x ), nâng lên lũy thừa n cả hai vế bđt (4) được n2 n      1  x   1  x   1  n x  1   x  n  nDấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x=0. Trường hợp (b) của định lý đã cm xong.Và định lý 1 đã được chứng minh xong hoàn toàn!2/Định lý 2. Nếu a1, a2, . . ., an là các số dương và  <  thì c  c, hơn nữa dấu bằng xảy ra khi và chỉkhi a1 = a2 = . . . = an.Với các chỉ só  và  trái dấu, ta đã chứng minh định lý này ở ví dụ 7 thuộc Bài 2 (“CÁC BẤT ĐẲNG THỨCKINH ĐIỂN…”). Ở đây, vấn đề còn lại là ta chứng minh định lý với  và  cùng dấu. Nhắc lại: c và c là các trung bìn ...