Bài 5. Các phép biến đổi cơ bản và nâng cao tích phân hàm lượng giác

Xét tích phân d ng I = R ( sin x,cos x ) dx1. i bi n s t ng quát:∫t t = tgx 2 dt 2t 1− t2 ⇒ x = 2 arctg t ;dx = ; sin x = ; cos x = 2 1+ t2 1 + t2 1 + t22   2 dt Khi ó: I = R ( sin x,cos x ) dx = R  2t 2 , 1 − t 2   1 + t 1 + t  1 + t2∫∫Ta xét 3 trư ng h p c bi t...
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài 5. Các phép biến đổi cơ bản và nâng cao tích phân hàm lượng giác Bài 5. Các phép i b i n s cơ b n và nâng cao tích phân hàm lư ng giác BÀI 5. CÁC PHÉP I BI N S CƠ B N VÀ NÂNG CAO TÍCH PHÂN HÀM LƯ NG GIÁCI. CÁC D N G TÍCH PHÂN VÀ PHÉP BI N I CƠ B N• tv n : ∫Xét tích phân d ng I = R ( sin x,cos x ) dx1. i bi n s t ng quát: 1− t2 2 dt 2t x ⇒ x = 2 arctg t ;dx = t t = tg ; sin x = ; cos x = 1+ t2 1 + t2 1 + t2 2   2 dt 2Khi ó: I = R ( sin x,cos x ) dx = R  2t 2 , 1 − t 2  ∫ ∫  1 + t 1 + t  1 + t2Ta xét 3 tr ư ng h p c bi t thư ng g p sau â y mà có th i bi n s b n g hàm s dư i d u tích phân nh n ư c ơn gi n hơn.cách khác theo sin: R ( −sinx, cosx ) = −R ( sinx, cosx )2 . N u R ( sinx, cosx ) l à hàm l i bi n t = c osx.thì c n bi n i hàm s và vi phân th c hi n phép3 . N u R ( sinx, cosx ) l à hàm l theo cosin: R ( sinx, − cosx ) = −R ( sinx, cosx ) i bi n t = sinx.thì c n bi n i hàm s và vi phân th c hi n phép4 . N u R ( sinx, cosx ) t ho i u ki n: R ( −sinx, − cosx ) = R ( sinx, cosx ) mãn i bi n t = tgx.thì c n bi n i hàm s và vi phân th c hi n phépII. CÁC BÀI T P M U MINH H A1 . D ng 1: i bi n s t ng quát 3sin2x − 2cos2x − 1 ∫ 3cos2x + 4sin2x + 5 dxI= 2 1− t dt 2t t t = tg x ⇒ x = arctg t ; dx = ; sin 2x = ; cos 2x = 2 2 2 1+ t 1+ t 1+ t 3.2t − 2 (1 − t ) − (1 + t ) dt 1 ( t + 6t − 3) dt 2 2 2 2 1 t + 6t − 3 dt ∫ 3 (1 − t 2 ) + 4.2t + 5 (1+ t2 ) ⋅ 1+ t2 ∫ ∫⇒ I= = ⋅ = 2 ( t + 2)2 (1 + t 2 ) 2 2 2 t + 4t + 4 1 + t 1 69Chương II: Nguyên hàm và tích phân − Tr n Phương t 2 + 6t − 3 Ct + D A B = + + , ∀tGi s ( t + 2 ) (1 + t 2 ) 2 2 1 + t2 t + 2 (t + 2)⇔ t 2 + 6t − 3 = A ( t + 2 ) (1 + t 2 ) + B (1 + t 2 ) + ( Ct + D ) ( t + 2 ) , ∀t (*) 2⇔ t 2 + 6t − 3 = ( A + C) t 3 + ( 2A + B + 4C + D) t 2 + ( A + 4C + 4D) t + ( 2A + B + 4D)Thay t = − 2 vào (*) thì − 11 = 5B ⇒ B = − 11/5 A + C = 0 A + C = 0 A = −34 25    2A + B + 4C + D = 1 2A + 4C + D = 16 5 B = −11 5(*) ⇔  ⇔ ⇔ A + 4C + 4D = 6 A + 4C + 4D = 6 C = 34 25 2A + B + 4D = −3 2A + 4D = −4 5 D = 12 25    2 ...