Bài giảng Chương 1: Ma trận – Định thức

Bài giảng Chương 1: Ma trận – Định thức sau đây cung cấp cho các bạn những kiến thức về định nghĩa, phép tính,... trong ma trận và định mức. Với các bạn chuyên ngành Toán học thì đây là tài liệu hữu ích. Mời các bạn tham khảo.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Chương 1: Ma trận – Định thức Chương 1. Ma trận – Định thức §1. MA TRẬN §2. ĐỊNH THỨC ------------------------------------------------------ §1. MA TRẬN1.1. Các định nghĩaa) Định nghĩa ma trận• Bảng các số thực aij dạng hình chữ nhật gồm có mdòng và n cột được gọi là một ma trận cấp m ×n . 1 Chương 1. Ma trận – Định thức a a ... a   11 12 1n  dòng 1  a   a ... a 2n  dòng 2A =  21 22   ⋮ ⋮ ⋱ ⋮   a   m 1 am 2 ... amn  dòng m cột cột cột 1 2 n 2 Chương 1. Ma trận – Định thức• Các số aij được gọi là các phần tử của A ở dòng thứ i và cột thứ j .• Ma trận A như trên được viết gọn là A = (aij )m×n .• Tập hợp các ma trận thực A cấp m ×n được ký hiệu ( )m×nlà M m×n ( ℝ ). Khi A ∈ M m×n ( ℝ ), ta viết A = aij. 3 Chương 1. Ma trận – Định thức• Ma trận vuông Khi m = n , ta gọi A là ma trận vuông cấp n . Ký hiệu là A = (aij )n . Đường chéo chính của ma trận vuông a a ... a   11 12 1n  a   a ... a 2n  21 22   ⋮ ⋮ ⋱ ⋮    an 1 an 2 ... ann  4 Chương 1. Ma trận – Định thứcĐường chéo phụ của ma trận vuông a a ... a   11 12 1n  a   a ... a 2n  21 22   ⋮ ⋮ ⋱ ⋮    an 1 an 2 ... ann  5 Chương 1. Ma trận – Định thức• Các ma trận vuông đặc biệt Ma trận chéo (diagonal matrix) a 0 ... 0   11   0 a ... 0  A =  22  ∈ M (ℝ)  ⋮ ⋮ ⋱ ⋮   n  0   0 ... ann  ( A = diag a11, a22 ,..., ann . ) 6 Chương 1. Ma trận – Định thứcMa trận đơn vị (Identity matrix) 1 0 ... 0   0 1 ... 0 I n =   ∈ M n (ℝ)  ⋮ ⋮ ⋱ ⋮  0   0 ... 1 7 Chương 1. Ma trận – Định thứcMa trận tam giác (Triangle matrix) Ma trận ma trận vuông cấp n có tất cả các phần tử nằm phía dưới (trên) đường chéo chính đều bằng 0 được gọi là ma trận tam giác trên (dưới). 1 0 −2  3 0 0         A = 0 −1 1  B =  4 1 0     0 0 0  −1 5 2 8 Chương 1. Ma trận – Định thức Ma trận đối xứng (Symmetric matrix)• Ma trận vuông cấp n có tất cả các cặp phần tử đốixứng nhau qua đường chéo chính bằng nhau (aij = aji )được gọi là ma trận đối xứng.  3 4 −1    4 1 0    −1 0 2    9 Chương 1. Ma trận – Định thứcb) Ma trận bằng nhau Hai ma trận A = (aij ) và B = (bij ) được gọi là bằng nhau, ký hiệu A = B , khi và chỉ khi chúng cùng kích thước và aij = bij , ∀i, j . 1 x y  1 0 −1    VD 1. Cho A =   và B =  . z 2 t  2 u 3 Ta có: A = B ⇔ x = 0; y = −1; z = 2; u = 2; t = 3 . 10 Chương 1. Ma trận – Định thức1.2. Các phép toán trên ma trậna) Phép cộng và trừ hai ma trận Cho hai ma trận A = (aij )m×n và B = (bij )m×n , ta có: A ± B = (aij ± bij )m×n . −1 0 2  2 0 2 1 0 4  VD 2.   +   =  ;  2 3 −4 5 −3 1 7 0 −3 −1 0 2  2 0 2 −3 0 0    −   =  .  2 3 −4 5 −3 1 −3 6 −5  11 Chương 1. Ma trận – Định thứcTính chất. 1) A + B = B + A . 2) (A + B ) +C = A + (B +C ). 3) A + 0 = A . 12 Chương 1. Ma trận – Định thứcb) Phép nhân vô hướng Cho ma trận A = (aij )m×n và λ ∈ ℝ , ta có: λA = (λaij )m×n . −1 1 0  3 −3 0     VD 3. −3   =   ; −2 0 −4 6 0 12  2 6 4  1 3 2     −4 0 8 = 2 −2 0 4.     13 Chương 1. Ma trận – Định thứcTính c ...