Bài giảng Toán cao cấp 1: Chương 2 - Hoàng Văn Thắng

Bài giảng Toán cao cấp 1: Chương 2 trình bày các kiến thức về ma trận – định thức như các khái niệm cơ bản về ma trận, các dạng ma trận, các phép biến đổi ma trận.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Toán cao cấp 1: Chương 2 - Hoàng Văn ThắngChương 2: MA TRẬN – ĐỊNH THỨCBài 1. Các khái niệm cơ bản về ma trậnI. Các khái niệm cơ bản về ma trận1. Khái niệm ma trận2. Đẳng thức ma trận3. Ma trận không và ma trận đốiII. Các dạng ma trận1. Ma trận vuông2. Ma trận tam giác3. Ma trận đường chéo và ma trận đơn vịIII. Các phép biến đổi ma trận1. Các phép biến đổi sơ cấp2. Phép chuyển vị ma trậnI. Các khái niệm cơ bản về ma trận1) Ma trận là gì? 5 1 −1 2 3 −4 A= , = 2 −3 4 5 1 0 1 0 2 (A và B là các ví dụ về ma trận.)Tại sao phải có ma trận?Đối với hệ: + = 7 3 − =5Dễ dạng nhận thấy nghiệm: = 3, = 4.Đối với hệ kích thước lớn hơn, chẳng hạn: + − 2 = 7 2 − − 4 = 2 5 + 4 +10 =1 3 − − 6 = 5Ma trận sẽ giúp bạn…Định nghĩa: Ma trận là một bảng số đượcxếp theo dòng và cột.Một ma trận có m dòng, n cột được gọi làma trận cấp ×Dạng tổng quát là:  a11 a12  a1n  Dấu a a 22  a 2n  ngoặc A 21  đơn        a m1 a m2  a mn  mn  a11 a12  a1n  Dấu a a 22  a 2n  ngoặc A 21  vuông       a m1 a m2  a mn  mnCó thể Ký hiệu dạng thu gọn: = ×Trong đó là phần tử nằm ở dòng i, cột jcủa ma trận A.Ví dụ 1: Cho ma trận: 1 −2 3 −4 = 4 −3 5 2 1 −1 0 −1 ×⟶ = 5, = −2, = −1Ví dụ 2: Lập ma trận = cho biết: × 1nếui + jchẵn a = 2nếui + jlẻGiải: a a a a 1 =? =? 2 1 2 =? =? 2 1 2 1 = 1 2 1 2 2 1 2 12. Đẳng thức ma trậnĐịnh nghĩa: Hai ma trận được gọi là bằngnhau khi và chỉ khi chúng có cùng cấp vàcác phần tử ở vị trí tương ứng đôi mộtbằng nhau.Tức là, A = a ,B = b × × a = b Thì: A = B ⟺ ∀i = 1,2, … , m; j = 1,2, … , n 1 2Ví dụ: Cho = , = 3 4 5 6 =1 =2 =3Khi đó, = ⟺ =4 =5 =63. Ma trận không và ma trận đốiĐịnh nghĩa 1: Ma trận không là ma trận cótất cả các phần tử bằng không.Ký hiệu: 0 × 0 0  0 0 0  0 0 m n           0 0  0  mnĐịnh nghĩa 2: Ma trận đối của một ma trậnA là ma trận cùng cấp mà mỗi phần tử củanó là số đối của các phần tử tương ứng củama trận A.Ký hiệu: ma trận đối của A là – A.Như vậy, = ⟶− = − × ×Ví dụ: Lập ma trận đối của ma trận sau:  4 0   4 0  5 2    A   5 2  A    7 4  7 4     II. Các dạng ma trận1. Ma trận vuôngĐịnh nghĩa: Ma trận vuông là ma trận có sốdòng bằng số cột.Một ma trận có số dòng và số cột đều bằngn được gọi là ma trận vuông cấp n.Ma trận vuông cấp n có dạng tổng quát:  a11 a12  a1n  a a 22  a 2n  A 21  Đường     chéo   chính  a n1 a n 2  a nn Chú ý: Đối với ma trận vuông: = người ta gọi tổng các ×phần tử trên đường chéo chính là vếtcủa ma trận đó: ế ( )= + + ⋯+2. Ma trận tam giác:Định nghĩa: Ma trận tam giác là ma trậnvuông có các phần tử nằm về một phíacủa đường chéo chính bằng 0.Có hai loại ma trận tam giác:a11 a12  a1n   Ma trận a 22  a 2n tam    giác dưới  a mn  a11 a  Ma trận a 22 tam 21    giác  trêna m1 a m2  a mn 3. Ma trận đường chéo và ma trận đơn vịĐịnh nghĩa: Ma trận đường chéo là ma trậnvuông có tất cả các phần tử nằm ngoàiđường chéo chính bằng 0.Ma trận đường chéo cấp n có dạng:  a11     7 0 0  a 22   A   0 4 0         0 0 9 a nn    Định nghĩa: Ma trận đơn vị là ma trậnvuông có tất cả các phần tử trong đườngchéo chính bằng 1, nằm ngoài đường chéochính bằng 0. 1 0  0 0 1  0 1 0 0 0 1 0E  En    E3        0 0 1     0 0  11. Các phép biến đổi sơ cấpĐịnh nghĩa: Các phép biến đổi sau đây đốivới một ma trận được gọi là các phép biếnđổi sơ cấp.Phép 1: Đổi chỗ hai dòng (cột) của matrận cho nhau. ...