Giáo trình toán cao cấp 1

Tài liệu “Giáo trình toán cao cấp” được biên soạn với mục đích nhằm cung cấp cho sinh viên 1 số kiến thức cơ bản của toán học cao cấp làm cơ sở cho việc tiếp thu các môn học cơ sở và chuyên môn thuộc các chuyên ngành sinh viên được đào tạo.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Giáo trình toán cao cấp 1 CHƯƠNG 1 KHÁI NI M V T P H P VÀ ÁNH X §1. T P H P 1.1 CÁC KHÁI NI M CƠ B N Trong ngôn ng hàng ngày, ta thư ng dùng ñ n khái ni m t p h p: t p h p các sinh viên có m t trong m t l p h c, t p h p các câu h i ôn thi… ñây ta không ñ nh nghĩa t p h p mà ch mô t nó b ng m t d u hi u hay m t tính ch t nào ñó cho phép ta nh n bi t ñư c t p h p ñó và phân bi t nó v i các t p h p khác. Ta coi t p h p là m t khái ni m nguyên thu cũng gi ng như khái ni m ñi m, ñư ng th ng, m t ph ng trong hình h c. Các ñ i tư ng l p nên t p h p ñư c g i là các ph n t c a t p h p. N u a là m t ph n t c a t p h p A thì ta ký hi u: a ∈ A (ñ c: a thu c A ) N u a không ph i là m t ph n t c a t p h p A thì ta ký hi u: a ∉ A (ñ c: a không thu c A ) Ví d : N u A là t p h p các s nguyên ch n thì 2 ∈ A, 10 ∈ A nhưng 15 ∉ A . M t t p h p ñư c g i là h u h n n u nó g m m t s nh t ñ nh ph n t . Ví d : T p h p các sinh viên c a m t l p h c là h u h n, s ph n t ñây là s sinh viên c a l p ñó. T p h p các nghi m c a phương trình x 2 − 3x + 2 = 0 là h u h n, nó g m hai ph n t là 1 và 2. Có nh ng t p h p ch có ñúng m t ph n t , ch ng h n t p h p các nghi m dương nh hơn 2 c a phương trình sin x = 1 ch có m t ph n t là π . 2 6 ð ñư c thu n ti n, ngư i ta cũng ñưa vào lo i t p h p không ch a m t ph n t nào và g i nó là t p h p r ng, ký hi u là ∅. Ví d : T p h p các nghi m th c c a phương trình x 2 + 1 = 0 là r ng, vì không t n t i s th c nào mà bình phương l i b ng −1 . T p h p g m vô s ph n t g i là t p h p vô h n. Ngư i ta phân bi t: ---------------------------------------------------------------------------------------------------- B môn KHCB Giáo trình toán cao c p 1 1 T p h p vô h n ñ m ñư c là t p h p tuy s lư ng ph n t là vô h n song ta có th ñánh s th t các ph n t c a nó (t c là có th bi t ñư c ph n t ñ ng li n trư c và ñ ng li n sau c a m t ph n t b t kỳ). Ví d : T p h p các nghi m c a phương trình sin x = 1 là vô h n ñ m c a nó có d ng x k = π + 2k π ; v i ñư c, vì các ph n t 2 k = 0, ± 1, ± 2, ± 3, ... chúng ñư c ñánh s theo s nguyên k . T p h p vô h n không ñ m ñư c là t p h p có vô s ph n t và không có cách nào ñánh s th t các ph n t c a nó. Ví d : T p h p các ñi m trên ño n th ng [0,1] . T p h p con: Cho hai t p h p A và B . N u b t kỳ ph n B t nào c a t p h p A cũng là ph n t c a t p h p A B thì ta nói A là t p h p con c a B và ký hi u E A ⊂ B (ñ c: A bao hàm trong B ). Như v y ta có: A ⊂ B ⇔ x ∈ A ⇒ x ∈ B Hình 1. A ⊂ B (ký hi u ⇔ ñ c là “khi và ch khi”, nó có nghĩa c a ñi u ki n c n và ñ , ký hi u ⇒ ñ c là “suy ra” hay “kéo theo”). Ví d : G i A là t p h p các nghi m c a phương trình x 2 − 3x + 2 = 0 , B là t p h p các s nguyên dương thì A ⊂ B vì 1 và 2 cũng là các s nguyên dương. Quan h bao hàm gi a các t p h p có tính ch t b c c u nghĩa là: n u A ⊂ B và B ⊂ C thì A ⊂ C . T p h p b ng nhau: N u A ⊂ B ñ ng th i B ⊂ A thì ta nói hai t p h p A , B là b ng nhau. Ta cũng ký hi u A = B . A = B ⇔ A ⊂ B và B ⊂ A Như v y: Ngư i ta quy ư c r ng : T p h p r ng ∅ là t p h p con c a b t kỳ t p h p nào. Th t v y, n u A ⊂ B thì b t kỳ ph n t nào không thu c B cũng không thu c A và như v y ∅ ⊂ B vì không có ph n t nào thu c t p h p r ng. ð ti n l i cho vi c xét các t p h p, ta thư ng coi t p các t p h p ñư c kh o sát là các t p h p con c a m t t p h p E “ñ l n” nào ñó, ch ng h n ---------------------------------------------------------------------------------------------------- B môn KHCB Giáo trình toán cao c p 1 2 trong chương trình toán h c Trung h c khi xét t p h p các nghi m c a phương trình, ta ñ u coi chúng là t p h p con c a t p h p s th c. 1.2 CÁC PHÉP TOÁN TRÊN T P H P Gi s A, B,C ,... là các t p h p con c a m t t p h p E nào ñó. Ta có th xây d ng các t p h p m i d a trên các t p h p ñó b ng các phép toán sau: a) Phép h p: H p c a hai t p h p A và B B là m t t p h p ch a các ph n t thu c ít nh t A m t trong hai t p h p A ho c B . ...