Bài giảng Chương 2: Hệ phương trình tuyến tính

Dưới đây là bài giảng Chương 2: Hệ phương trình tuyến tính. Mời các bạn tham khảo bài giảng để nắm bắt được những nội dung về khái niệm hệ phương trình tuyến tính; phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính; định lý Kronecker – Capelli.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Chương 2: Hệ phương trình tuyến tính Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính CHƯƠNG 2:HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 1. Các khái niệm về hệ PTTT 2. Các phương pháp giải hệ PTTT 3. Định lý Kronecker – Capelli-------------------------------------------------- 1 Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính1. Các khái niệm về hệ PTTT• Hệ gồm m phương trình và n ẩn xi (i = 1,...,n )dạng  a x + a x + ... + a x = b   11 1 12 2 1n n 1  a21x1 + a22x2 + ... + a2n xn = b2  (*)  ...................................... = ...   am1x1 + am 2x2 + ... + amn xn = bm  được gọi là một hệ phương trình tuyến tính. 2 Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính• a11, a12 ,...,amn ∈ ℝ là các hệ số của hệ;• x1, x2 ,..., xn là các ẩn số của hệ;• b1, b2 ,...,bm ∈ ℝ là các hệ số tự do của hệ.Chú ý. Nếu b1 = b2 = ... = bm = 0 thì hệ phươngtrình đã cho được gọi là hệ thuần nhất. 3 Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính• Bộ (α1, α2 ,..., αn ) được gọi là một nghiệm củahệ (*) nếu khi ta thay x1 = α1, x2 = α2 ,..., xn = αn vào hệ thì tất cả các phương trìnhtrong hệ đều thỏa mãn.• Giải một hệ phương trình tuyến tính là ta đi tìmtập hợp nghiệm của nó. 4 Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính• Đặt a ... a1n  x  b   11 a12   1   1   a a ... a2n    x2   b2   21 22   , X =  , B =  ,A =    ... ... ... ...    ...   ...        am1 am 2 ... amn  xn  bm thì hệ (*) được viết lại dưới dạng AX = B . 5 Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính• Xét hệ phương trình tuyến tính (*). Khi đó, matrận a b1   11 a12 ... a1n   a a ... a2n b2  A = (A B ) =   21 22   ... ... ... ... ...    am1 am 2 ... amn bm được gọi là ma trận mở rộng của hệ. 6 Chương 2. Hệ phương trình tuyến tínhVD 1. Viết ma trận mở rộng của hệ phương trình   x + 4y + 5z = − 1 ;    2x + 7y − 11z = 2;     3 x + 11 y − 6z = 1 . 7 Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính2. Các phương pháp giải hệ PTTT2.1. Phương pháp GaussCho hệ phương trình AX = B . Để giải hệ, ta thựchiện các bước sau:• Bước 1. Đưa ma trận mở rộng A = A B về ( )dạng bậc thang.• Bước 2. Từ dạng bậc thang có được, ta viết lạithành hệ và giải ngược từ dòng dưới lên trên. 8 Chương 2. Hệ phương trình tuyến tínhLưu ý. Khi thực hiện bước 1, nếu ta gặp một dòng có dạng (0 0 ... 0 a) với a ≠ 0 thì ta kết luận hệ vô nghiệm. Nếu ma trận bậc thang có được có hạng bằng số ẩn thì hệ có duy nhất nghiệm. Nếu ma trận bậc thang có được có hạng nhỏ hơn số ẩn thì hệ có vô số nghiệm. 9 Chương 2. Hệ phương trình tuyến tínhVD 2. Giải hệ phương trình tuyến tính  2x + y − z = 1;     y + 3z = 3;     2x + y + z = − 1 . 10 Chương 2. Hệ phương trình tuyến tínhVD 3. Giải hệ phương trình tuyến tính  5x − 2x + 5x 3 − 3x 4 = 3;   1 2  4x1 + x2 + 3x 3 − 2x 4 = 5;     2x1 + 7 x 2 − x3 = −1. 11 Chương 2. Hệ phương trình tuyến tínhVD 4. Tìm nghiệm của hệ phương trình   x + 4y + 5z = − 1 ;    2x + 7y − 11z = 2;     3x + 11y − 6z = 1 .A. x = 15, y = −4, z = 0 ; B. Vô số nghiệm;  x = 15 − 79α  x = 15 + 79α    C. y = −4 − 21α D. y = −4 − 21α     z = α ∈ ℝ.   z = α ∈ ℝ.   12 Chương 2. Hệ phương trình tuyến tínhVD 5. Giải hệ phương trình   x + 3x2 + 2x 3 = 0;   1  2x1 − x2 + 3x 3 = 0;   3x1 − 5x2 + 4x 3 = 0;    x1  + 17x2 + 4x 3 = 0. 13 Chương 2. Hệ phương trình tuyến tínhVD 6. Định m để hệ sau có vô số nghiệm:   x + 2y + (7 − m )z = 2;   2x + 4y − 5z = 1;    3x + 6y + mz = 3.    A. m = ±1 B. m = 1 C. m = −7 D. m = 7 ...