Bài giảng Chương 3: Điều khiển liên tục trong miền thời gian (Bài 2) - ThS. Đặng Văn Mỹ

Bài 2 Chương 3 Điều khiển liên tục trong miền thời gian trình bày tiếp nội dung xây dựng mô hình toán học là ma trận hàm mũ, xác định ma trận hàm mũ, nghiệm của phương trình trạng thái.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Chương 3: Điều khiển liên tục trong miền thời gian (Bài 2) - ThS. Đặng Văn MỹIII. ĐIỀU KHIỂN LIÊN TỤC TRONG MIỀN THỜI GIAN BM Điều Khiển Tự Động Th.S. Đặng Văn Mỹ 1 Bai 1 - Chuong 3 - DKLT mien t - Mo hinh toan hoc.key - November 16, 2014 3.2 XÂY DỰNG MÔ HÌNH TOÁN HỌC Ma trận hàm mũXuất phát từ phân tích: ∞ k ∞ k k! (At) AL{t k .1(t)} = k+1 ⇒ L{e At .1(t)} = L{∑ 1(t)} = ∑ k+1 s k=0 k! k=0 s ∞ k ∞ k+1 ∞ k 0 A A A A⇒ ∑ k − ∑ k+1 = (sI − A)∑ k+1 = 0 = A 0 = I k=0 s k=0 s k=0 s s ∞ Ak⇔ ∑ k+1 = (sI − A)−1 k=0 sVậy suy ra: e At = L−1 {(sI − A)−1 } my.dangvan@hust.edu.vn 2 Bai 1 - Chuong 3 - DKLT mien t - Mo hinh toan hoc.key - November 16, 2014 3.2 XÂY DỰNG MÔ HÌNH TOÁN HỌC Ma trận hàm mũ (tiếp) AtMa trận hàm mũ e được sử dụng để xác định nghiệm x(t) trongphương trình: dx(t) = Ax(t) + Bu(t) dt ∞ k ∞ k Đây là x (At)Xuất phát từ: e = ∑ x E(t) = e = ∑ At chuỗi hội k=0 k! k=0 k! tụĐịnh Nghĩa: ∞ (At)k là giá trị tới hạn của chuỗi ∑ AtMa trận hàm e k! k=0trong đó A là một ma trận vuông (n x n) và A0 = I my.dangvan@hust.edu.vn 3 Bai 1 - Chuong 3 - DKLT mien t - Mo hinh toan hoc.key - November 16, 2014 3.2 XÂY DỰNG MÔ HÌNH TOÁN HỌC Ma trận hàm mũ (tiếp) ∞ k ∞ k k! (At) ATa có: L{t k .1(t)} = k+1 ⇒ L{e At .1(t)} = L{∑ 1(t)} = ∑ k+1 s k=0 k! k=0 s ∞ A k ∞ A k+1 ∞ Ak A0 ⇒ ∑ k − ∑ k+1 = (sI − A)∑ k+1 = 0 = A 0 = I k=0 s k=0 s k=0 s s ∞ Ak ⇔ ∑ k+1 = (sI − A)−1 k=0 s −1 −1 Vậy e = L {(sI − A) } At my.dangvan@hust.edu.vn 4 Bai 1 - Chuong 3 - DKLT mien t - Mo hinh toan hoc.key - November 16, 2014 3.2 XÂY DỰNG MÔ HÌNH TOÁN HỌC Xác định ma trận hàm mũ- Nhờ toán tử Laplace ⎛ 1 2 ⎞ - Ví dụ: cho hệ có A=⎜ ⎝ 0 3 ⎟⎠ ⎧⎪⎛ s − 1 −2 ⎞ −1 ⎫⎪ ⎧ ⎛ s − 3 2 ⎞ ⎫⎪ −1 −1 −1 −1 ⎪ 1 e = L {(sI − A) } = L ⎨⎜ At ⎟ ⎬= L ⎨ ⎜ ⎟ ⎬ ⎪⎩⎝ 0 s − 3 ⎠ ⎪⎭ ⎪⎩ (s − 1)(s − 3) ⎝ 0 s − 1 ⎠ ⎪⎭ ⎧⎛ 1 2 ⎞⎫ ⎪⎜ ⎟ ⎪⎪ ⎛ t ⎪ s −1 (s − 1)(s − 3) ⎟⎬=⎜ e e 3t − et ⎞ = L−1 ⎨⎜ ⎟ ⎪⎜ 0 1 ⎟⎪ ⎝ 0 e 3t ⎠ ⎪⎜⎝ s−3 ⎟⎠ ⎪ ⎩ ⎭ my.dangvan@hust.edu.vn 5 Bai 1 - Chuong 3 - DKLT mien t - Mo hinh toan hoc.key - November 16, 2014 3.2 XÂY DỰNG MÔ HÌNH TOÁN HỌC Xác định ma trận hàm mũ (tiếp)- Nhờ định lý Cayley - Hamilton e At = a0 (t)I + a1 (t)A +K ...