Bài giảng Chương 7: Lấy mẫu tín hiệu

Bài giảng "Chương 7: Lấy mẫu tín hiệu" cung cấp cho người đọc các kiến thức: Định lý lấy mẩu, tính biến đổi Fourier - Biến đổi Fourier rời rạc, biến đổi Fourier nhanh. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Chương 7: Lấy mẫu tín hiệu CHƢƠNG 7: LẤY MẨU TÍN HIỆU Nội dung5.1 Định lý lấy mẩu5.2 Tính biến đổi Fourier: Biến đổi Fourier rời rạc (DFT)5.3 Biến đổi Fourier nhanh (FFT)5.4 Phụ chương 5.15.5 Tóm tắtTài liệu tham khảo:B.P. Lathi, Signal Processing and Linear Systems, Berkeley-Cambridge Press, 1998Lấy mẩu Tín hiệu liên tục có thể được xử lý bằng cách xử lý các mẩu của tín hiệu qua hệthống rời rạc. Điều cần thiết là phải duy trì tốc độ lấy mẩu tín hiệu đủ lớn để khôi phụctốt tín hiệu (không có sai số hay sai số với độ dung sai chấp nhận được). Điều này có thểthực hiện được dùng định lý lấy mẩu.5.1 Định lý lấy mẫu Ta sẽ chứng minh là tín hiệu thực có phổ băng thông giới hạn B Hz [F()= 0 với  2B ] có thể được khôi phục chính xác (không có sai số nào) từ các tốc độ lấy mẩuđồng đều với tốc độ Fs > 2B mẩu/giây. Nói cách khác, tốc dộ lấy mẩu tối thiểu là Fs = 2BHz. Để chứng minh định lý lấy mẩu, xét tín hiệu f(t) (hình 5.1a) có phổ giới hạn B Hz(hình 5.1b). Để thuận tiện, ta vẽ phổ là hàm theo  cũng như theo F (Hz). Lấy mẩu f(t)với tốc độ Fs Hz (Fs mẩu/giây) có thể thực hiện bằng cách nhân f(t) với chuỗi xung T(t)(hình 5.1c), gồm các xung đơn vị lặp lại theo chu kỳ T giây, với T =1/Fs. Kết quả là tínhiệu được lấy mẫu f (t ) vẽ trong hình 5.1d, là tín hiệu gồm các xung cách nhau từng Tgiây (thời gian lấy mẫu). Xung thứ n, nằm tại t = nT, có cường độ f(nT), là giá trị của f(t)tại t = nT. f (t )  f (t ) T (t )   f (nT ) (t  nT ) (5.1) nĐể tìm F ( ) , biến đổi Fourier của f (t ) , ta lấy biến đổi Fourier của vế phải phương trình(5.3) từng thừa số một. Biến đổi của thừa số thứ nhất trong ngoặc là F(). Biến đổi củathừa số thứ hai 2 f (t ) cos s t là F( –s ) + F( +s ) (xem phương trình (4.41), chothấy phổ F() dời s và –s. Tương tự, biến đổi Fourier của thừa số thứ ba 2 f (t ) cos 2s t là F( –2s ) + F( +2s ), cho thấy phổ F() dời 2s và –2s, và tiếptục cho tới vô hạn. Điều này tức là phổ F ( ) gồm F() lặp lại theo chu kỳ s = 2/Trad/s, hay Fs = 1/T Hz, như vẽ trong hình 5.1e. Ngoài ra còn có thêm hằng số nhân 1/Ttrong phương trình (5.3). Do đó 1  F ( )   F (  ns ) (5.4) T n Nếu muốn khôi phục f(t) từ f (t ) , ta phải khôi phục được F() từ F ( ) . Có thểkhôi phục được nếu không có trùng lắp giữa các chu kỳ liên tiếp của F ( ) . Hình 5.1echo thấy cần có Fs > 2B (5.5)Đồng thời, thời gian lấy mẩu T =1/Fs. Do đó 1 T (5.6) 2B Thí dụ 5.1 Trong thí dụ này, ta xét ảnh hưởng của tín hiệu khi lấy mẩu theo tốc độ Nyquist,thấp hơn tốc độ Nyquist (lấy mẩu thiếu), cao hơn tốc độ Nyquist (lấy mẩu lố). Xét tínhiệu f (t )  sin c 2 (5t ) (hình 5.2a) có phổ F ( )  0,2 20  (hình 5.2b). Băng thông củatín hiệu là 5 Hz (10 rad/s). Như thế, tốc độ Nyquist là 10Hz; tức là, ta phải lấy mẩu tínhiệu với tốc độ không nhỏ hơn 10 mẩu/s. Khoảng Nyquist là T = 1/2B = 0,1 giây. Nhắc lại là phổ của tín hiệu đã lấy mẩu gồm 1 / T F ( )  T2  20  lặp lại theo chukỳ bằng với tần số lấy mẩu Fs Hz. Ta trình bày thông tin này trong bảng sau với tốc độlấy mẩu Fs = 5Hz (lấy mẩu thiếu). 10Hz (tốc độ Nyquist) và 20Hz (lấy mẩu lố). Tần số lấy mẩu Fs Thời gian lấy mẩu T (1/T)F() Nhận xét 5 Hz 0,2  20  Lấy mẩu thiếu 10 Hz 0,1 2 20  Tốc độ Nyquist 20 Hz 0,05 4  20  Lấy mẩu lố Trong trường hợp đầu (lấy mẩu thiếu), tốc độ lấy mẩu là 5Hz (5 mẩu/giây) , và phổ1T F ( ) lặp lại sau mỗi 5Hz (10 rad/s). Các phổ liên tiếp trùng lắp, như vẽ trong hình5.2d, và phổ F() không thể được khôi phục từ F ( ) ; tức là f(t) không thể được khôiphục từ các mẩu f (t ) trong hình 5.2c. Trường hợp thứ hai, khi dùng tốc độ lấy mẫu Nyquist10Hz (hình 5.2e). Phổ F ( ) gồm các thành phần phổ T1 F ( ) không trùng lắp lặp lạitừng 10 Hz. Do đó, phổ F() có thể được khôi phục từ F ( ) dùng mạch lọc thông thấplý tưởng có băng thông 5 Hz (hình 5.2f). Sau cùng, trường hợp cuối là lấy mẩu lố (tốc độlấy mẩu 20Hz); phổ F() gồm các gồm các thành phần phổ T1 F ( ) không trùng lắp (lặplại từng 20 Hz) với các băng tần trống giữa các chu kỳ liên tiếp. Do đó, phổ F() có thểđược khôi phục từ F ( ) dùng mạch lọc thông thấp lý tưởng hay ...