Bài giảng chuyên đề Phương pháp tính Phần 3

Trong nhiêu bài toán kỹ thuật, ta phải tìm các trị yi tại các điểm xi bên trong đọan [a,b], hoặc khi quan hệ gỉai tích y = f(x) đã có sẵn nhưng phức tạp, hoặc cần tìm đạo hàm, tích phân của hàm số,.…Khi dó ta dùng phép nội suy để dễ dàng tính toán mà vẫn đảm bảo độ chính xác theo yêu câu của thực tế.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng chuyên đề Phương pháp tính Phần 3Khoa Xây D ng Th y L i Th y i n B môn Cơ S K Thu tChương 2 N I SUY (INTERPOLATION) Trong nhi u bài toán k thu t, ta ph i tìm các tr yi t i các i m x i bên trong o n [a,b], ho c khi quan h gi i tích y = f(x) ã có s n nhưng ph c t p, ho c c n tìm o hàm, tích phân c a hàm s ,.…Khi ó ta dùng phép n i suy d dàng tính toán màv n mb o chính xác theo yêu c u c a th c t .2.1 a th c n i suy Lagrange Cho b ng các giá tr x x1 x2 x3 .... . .. xn y y1 y2 y3 ... ...yn C n l p a th c: y = f(x) có b c m ≤ n - 1, nh n các giá tr yi cho trư c ngv i các xi : yi = f(xi), v i i = 1, 2, 3,…. ...,n Ký hi u: ϕ(x) = (x - x 1)(x - x2)... ... (x - xn) Ta có ư c ng th c: y1ϕ (x) y 2 ϕ (x) f (x) = + + ... (x - x1 )(x 1 − x 2 )(x1 − x 3 )...(x1 − x n ) (x − x 2 )(x 2 − x 1 )(x 2 − x 3 )....(x 2 − x n ) y n ϕ(x) + (x − x n )(x n − x1 )(x n − x 2 ).......(x n − x n −1 ) n y k ϕ(x )Hay: f(x)= ∑ k =1 ϕ ( x k ).(x − x k ) ây là a th c n i suy LagrangeVí d : x 0 1 2 3 y 3 4 7 8 Tìm a th c n i suy Lagrange và tìm y khi bi t x=1,5. Ta có: ϕ (x) = (x-x1)(x-x2)(x-x3)(x-x4) = x(x-1)(x-2)(x-3) 3.x.( x − 1).( x − 2).( x − 3) 4.x.( x − 1).( x − 2).( x − 3) ⇒ f(x) = + + x.(−1).(−2).(−3) ( x − 1).1.(−1).(−2) 7.x.( x − 1).( x − 2).( x − 3) 8.x.( x − 1).( x − 2).( x − 3) + ( x − 2).2.1.(−1) ( x − 3).3.2.1 =-1/2(x-1)(x-2)(x-3)+2x(x-2)(x-3)-7/2x(x-1)(x-3)+4/3x(x-1)(x-2) T i x=1,5 th vào f(x) ta có y=5,52.2 N i suy NewtonGi s y0 , y1 , y2 , ... là nh ng giá tr nào ó c a hàm y = f(x) tương ng v i các giá trcách u nhau c a các i s x0 , x1 , x2 ...t c là: x K + 1 - xK = ∆x K = constBài Gi ng Chuyên Phương Pháp Tính Trang 14Khoa Xây D ng Th y L i Th y i n B môn Cơ S K Thu tKý hi u: y1 - y0 = ∆y0 ; y2 - y1 = ∆y1 ; ... ... ; yn - yn - 1 = ∆yn - 1 là sai phân c p 1. ∆y1 - ∆y0 = ∆2y0 ; ∆y2 - ∆y1 = ∆2y1 ; ..... là sai phân c p 2. n n n+1 n n n+1 ∆ y1 - ∆ y0 = ∆ y0 ; ∆ y2 - ∆ y1 = ∆ y1 ; ..... là sai phân c p n + 1.Ti n hành các phép th liên ti p, ta nh n ư c: ..., ∆2y0 = y2 - 2y1 + y0 ; ∆3y0 = y3 - 3y2 + 3y1 - y0 ,…. n n ∆ y0 = ∑ (−1) K =0 K CnK yn − KTương t ta cũng nh n ư c: y1 = y0 + ∆y0 , y2 = y0 + 2∆y0 + ∆2y0 , y3 = y0 + 3∆y0 + 3∆2y0 + ∆3y0 ,… n(n − 1) 2 yn = y0 + n∆y0 + ∆ y0 + ... + ∆ny0 (1) 2!N u trong (1) ta xem n không nh ng là ch là s nguyên dương mà có th là s n = tb t kỳ, ta nh n ư c công th c n i suy Newton: t t (t − 1) 2 t (t − 1)(t − 2) 3 yt = y0 + ∆y 0 + ∆ y0 + ∆ y 0 + ... + ∆t y 0 (2) 1! 2! 3! xn − x0Do bư c tăng ∆x = const, ta ư c xn = x0 + nh, suy ra n = h x − x0 t x = x0 + t.h, suy ra t = , th vào (2), ta có ư c d ng khác c a (1) h x − x0 ( x − x 0 )(x − x 0 − h ) 2 yn = y0 + ∆y 0 + ∆ ...