Bài giảng chuyên đề Phương pháp tính Phần 6

Các phương pháp số gắn liền với việc ứng dụng trên máy tính số. Ma trận được ứng dụng rât thích hợp ở đây, như giải hệ phương trình vi phân, biểu diễn các vectơ ở dạng ma trận.Khi giải hệ đại tuyến A.X = B, ma trận A có thể là ma trận dày hoặc thưa; khi A là ma trận thừa, trong nhiêu trường hợp đã có thuật toán để lưu trữ tiêt kiệm bo nhớvà thời gian tính như lưu trữ dạng BAND bình thường hoặc dạng BAND ép lại, hay kỹ thuật lưu trữ Skyline (frontal...
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng chuyên đề Phương pháp tính Phần 6Khoa Xây D ng Th y L i Th y i n B môn Cơ S K Thu tChương 5 CÁC PHƯƠNG PHÁP S C A I S TUY N TÍNH NUMERICAL METHODS FOR LINEAR ALGEBRA Các phương pháp s g n li n v i vi c ng d ng trên máy tính s . Ma tr n ư c ng d ng r t thích h p ây, như gi i h phương trình vi phân, bi u di n các vectơd ng ma tr n. Khi gi i h i tuy n A.X = B, ma tr n A có th là ma tr n y ho c thưa; khiA là ma tr n thưa, trong nhi u trư ng h p ã có thu t toán lưu tr ti t ki m b nhvà th i gian tính như lưu tr d ng BAND bình thư ng ho c d ng BAND ép l i, hay kthu t lưu tr Skyline (frontal method), v i nhi u thu t gi i r t hi u qu .5.1 Ma tr n5.1.1 Các nh nghĩa Ma tr n là t p h p g m m × n ph n t , chia thành m hàng và n c t.  a11 a12 ......a1n   a a ....a Kí hi u: A m,n = [ai , j ]m,n =  21 22 2n   .......... .....    am1 am 2 ....amn Có th coi ma tr n hàng(c t) là bi u di n i s c a m t vectơ (hình h c).V t (trace) c a ma tr n A ư c tính: Tr(A) = a11 + a22 +.....+ ann M i m t ma tr n vuông A u ư c g n v i m t s , kí hi u det(A) ho c A , ư c g i là nh th c. Ma tr n A ư c g i là suy bi n n u det(A) = 0 và ngư c l i làkhông suy bi n.5.1.2 Phép bi n i tuy n tính trong không gian n chi u Gi a ma tr n và các phép bi n i tuy n tính trong không gian ( i s ) có m tm i liên h m t thi t. M t ph n t c a không gian n chi u có th ư c mô t b ng m tvectơ, hay vi t dư i d ng ma tr n c t. [ ] Xét hai vectơ: X n1= x1 , x 2 , x3 ,..., x n , Y n1= [ y1 , y 2 , y 3 ,..., y m ] T TV i phép bi n i: A.X=Y V i A là ma tr n c m × n ư c g i là phép bi n i tuy n tính t vectơ n chi usang vectơ m chi u. Khi m=n ơn gi n là ta có m t phép chuy n t a . N u trongkhông gian 2 ho c 3 chi u v i các t a Descartes thì A chính là các ma tr n chuy n i. Ơ trư ng h p ơn gi n, A có th là ma tr n cosine ch phương khi th c hi nphép quay gi a hai h t a , có th là ma tr n cosine ch phương khi th c hi n phépBài Gi ng Chuyên Phương Pháp Tính Trang 38Khoa Xây D ng Th y L i Th y i n B môn Cơ S K Thu tquay gi a hai h t a , có th là ma tr n v i m t ph n t duy nh t khác không (cácma tr n cơ b n) khi th c hi n các phép t nh ti n các h t a theo các tr c. M t h cơ s c a không gian n chi u là m t t p h p úng n vectơ c l p tuy ntính.Ví d : Ta có th ch n các vectơ ơn v ei làm h cơ s v i vectơ X b t kỳ: X=c1e1 + c2e2+....+ cne n e1 = [1,0,0,......... ]T 0  e2 = [0,1,0,......... ] T 0  .......... .......... ........ e = [0,0,0,......... ]T 1  1 X= [x 1 , x 2 ,..., x n ] T Tích vô hư ng c a hai vectơ: Y= [y 1 , y 2 ,..., y n ] T n ư c nh nghĩa: XT.Y = YT.X = ∑x y 1 i i (trong không gian Euclide) dài hay Module c a vectơ X ký hi u X ư c tính: T X = x .x Kho ng cách d và góc ϕ gi a hai vectơ: d = x − y = ( x − y) T .(x − y) xT.y = x . y . cos ϕ Hai vectơ x, y ư c g i là tr c giao v i nhau n u: x T.y = 0 M t t p h p các vectơ tr c giao v i nhau t ng ôi m t ư c g i là m t H tr cgiao. M t ma tr n tr c giao s có các hàng và các c t là các vectơ tr c giao. nh lý: Các vectơ c a m t h tr c giao là c l p tuy n tính. Chu n c a vectơ, ký hi u là X , ư c nh nghĩa là m t s không âm, thõa mãncác tính ch t sau: 1. X ≥ 0 và X khi và ch khi X=0 2. αX = α . x v i m i α th c 3. X + Y ≤ X + Y b t ng th c tam giác Có 3 chu n sau ây hay ...