Bài giảng chuyên đề Phương pháp tính Phần 7

Nhiều bài toán khoa học kỹ thuật có phương trình chỉ đạo là (hệ) phương trình vi phân thường cùng với điều kiện biến và điều kiện ban đầu. Nghiệm đúng của chúng thường chỉ áp dụng cho một số lớp bài toán rât hạn chế; đa số các bài toán là phải tìm nghiệm gân đúng.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng chuyên đề Phương pháp tính Phần 7Khoa Xây D ng Th y L i Th y i n B môn Cơ S K Thu tChương 6 NGHI M G N ÚNG C A H PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯ NG SOLVING THE ORDINARY DIFFERENTIAL EQUATIONS6.1 M u Nhi u bài toán khoa h c k thu t có phương trình ch o là (h ) phươngtrình vi phân thư ng cùng v i i u ki n biên và i u ki n ban u. Nghi m úng c a chúng thư ng ch áp d ng cho m t s l p bài toán r t h n ch ; a scác bài toán là ph i tìm nghi m g n úng.Có hai lo i bài toán là: (i) Bài toán Cauchy hay còn g i là bài toán giá tr ban u, bao g m (h ) phương trình vi phân và i n ki n ban u c a bài toán. (ii) Bài toán biên, bao g m (h ) phương trình vi phân và i u ki n biên gi i g n úng các bài toán n y có hai phương pháp là: (a) Phương pháp gi i tích: tìm nghi m g n úng dư i d ng bi u th c như phương pháp x p x liên ti p Picard, phương pháp chu i nguyên, phương pháp tham s bé,… (b) Phương pháp s : tìm nghi m g n úng b ng s t i các i m r i r c; nó còn chia ra phương pháp m t bư c (như phương pháp Euler, Runghe- Kutta,…) và phương pháp a bư c (Adams,…); V i phương pháp m t bư c tính nghi m g n úng yi thông qua yi-1 còn v i phương pháp a bư c yi tính ư c thông qua nhi u bư c trư c ó: yi-1, yi-2, yi-3,…6.2 Nghi m g n úng c a bài toán Cauchy i v i phương trình vi phân thư ng y = f ( x , y ) Gi s ta c n gi i bài toán Cauchy:  (6.2.1) y( x 0 ) = y 0  Gi s r ng trong mi n ta xét, hàm f(x,y) có các o hàm riêng liên t c n c p n, khi ó nghi m c n tìm s có các o hàm riêng liên t c n c p n +1, và do ó ta có th vi t : ∆y 0 = y ( x 0 ) − y 0 = ( x − x0 ) y , o + ( x − x0 ) 2 ( x − x 0 ) n +1 ( n +1) n +1 y0 +...... + y 0 + θ ( x − x0 ) (6.2.2) 2! (n + 1)! Ký hi u x - x0 = h, v i h bé ta có th b qua 0(|x – x0|n+1). θ ( x − x0 ) n + 1Bài Gi ng Chuyên Phương Pháp Tính Trang 48Khoa Xây D ng Th y L i Th y i n B môn Cơ S K Thu t T (6.2.2) ta có: ∆y0 = y(x0+h) - y0 + hy’0 + h2 h n +1 ( n +1) y0 +.......... + y0 (6.2.3) 2! (n + 1)! tính (6.2.3) ta l n lư t tính t (6.2.1): ∂f 0 ∂f y’0 = f(x0,y0) = f0 , y”0 = + f0 0 , ∂x ∂y m  ∂ ∂  n ∂mu  ∂x + f ∂y  u = ∑ Cm f ∂x m−K ∂y K Nói chung ta có:  K K    K =0 n hK V y ta tính ư c: y(x) ≅ ∑ y (x 0 ) (K ) K =0 K! Trong th c t cách tính n y ít dùng vì c ng k nh; ta s xét các phươngpháp gi i khác ơn gi n hơn.6.2.1 Phương pháp x p x liên ti p Pica M t trong nh ng phương pháp gi i tích gi i g n úng phương trình viphân (6.2.1) là phương pháp x p x liên ti p Pica. M c ích c a phương pháp này là xây d ng nghi m c n tìm là y= y(x) x x xT (6.2.1) ta có: ∫ dy = ∫ f (t, y )dt x0 x0 ⇒ y( x ) − y( x 0 ) = ∫ f ( t , y )dt x0 xHay: y( x ) = y 0 + ∫ f ( t , y)dt (6.2.4) x0 ∂f Gi s f(x,y) là hàm liên t c theo x,y và < K. ∂y tìm x p x liên ti p, trong (6.2.4) thay y b ng y0, ta có x p x thnh t: x y1 = y 0 + ∫ f ( t, y 0 )dt , x0 xTương t có x p x th hai: y 2 = y 0 + ∫ f ( t ...