Bài giảng cơ học lượng tử - Nguyễn Văn Khiêm : Bài 10

Một trong những mô hình đơn giản nhưng rất điển hình của chuyển động một chiều là dao động tử điều hoà, với hàm thế năng giống như trong Cơ học cổ điển. ở đây, ta sẽ dùng hai phương pháp để nghiên cứu chuyển động như vậy..
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng cơ học lượng tử - Nguyễn Văn Khiêm : Bài 10 Ho ng Duc Unive rs ity307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam C¬ häc lîng tö Ng uyÔn V¨n Khiªm Ho ng Duc Unive rs ity307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Bµi 10 Dao ®é ng tö ®iÒu ho µ Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Mé t tro ng nh÷ng m« h×nh ®¬n g i¶n nhng rÊt ®iÓn h×nh c ña c huyÓn ®é ng mé t c hiÒu lµ dao ®é ng tö ®iÒu ho µ, víi hµm thÕ n¨ng g iè ng nh tro ng C¬ häc c æ ®iÓn. ë ®©y, ta s Ï dïng hai ph¬ng ph¸p ®Ó ng hiªn c ø u c huyÓn ®é ng nh vËy: ph¬ng ph¸p g i¶i tÝc h th«ng thê ng vµ ph¬ng ph¸p c ¸c to ¸n tö s inh vµ huû.1.Gi¶i b µi to ¸n v Ò d ao ®é ng tö b »ng p h¬ng p h¸p g i¶i tÝc hXÐt chuyÓn ®éng cña mét h¹t lîng tö trong trêng thÕ n¨ng cã d¹ng: mω 2 2 U ( x) = x (10.1) 2 §å thÞ hµm thÕ n¨ng nh vËy lµ ® êng parabole ® qua gèc i to¹ ® vµ nhËn trôc tung lµm trôc ® xøng é èi Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Ph¬ tr× cho tr¹ng th¸i dõng cã d¹ng: ng nh  2 d 2ϕ mω 2 2 − 2 + x ϕ = Eϕ (10.2) 2m dx 2§Ó phÇn nµo ® n gi¶n ho¸ ph¬ tr× ta ® ¬ ng nh, Æt: mω E x = ξ; =λ  ω Khi ® (10.2) trë thµnh ã, . d 2ϕ + ξ 2ϕ = 2λϕ (10.3) dξ 2 TiÕp theo, ®Æt 1 dϕ = f (10.4) ϕ dξ Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Khi ® (10.3) cã d¹ng: ã, df + f 2ϕ = ξ 2 − 2λ (10.5) dξVíi ξ ® lín, ta t× nghiÖm cña (10.5) díi d¹ng: ñ m +∞ ak f =∑ k k = −1ξ h c 1  p q  f = aξ + b + + 2  d + + 2 + ... ay ξ ξ  ξ ξ   Víi f nh vËy, ta cã: df c  1  = a − 2 + Θ 3  ξ  (10.6) dξ ξ   Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet namtrong ® Θ( x ) lµ ® lîng cïng bËc víi x khi x → 0 ã ¹i vµ: c2 1 2a f 2 = a 2ξ 2 + b 2 + 2 + 4 ( d + ...) + 2aξ + 2ac + ( d + ...) + 2 ξ ξ ξ 2bc 2b 2c + + 2 ( d + ...) + 3 ( d + ...) ξ ξ ξ Do ® vÕ tr¸i cña (10.5) sÏ b»ng: ã, 1 a ξ + 2aξ + b + 2ac + a + Θ  2 2 2 ξ    So s¸nh víi vÕ ph¶i cña (10.5), ta ®îc: a 2 =1, 2ab =0; b 2 +2ac +a =-2λ. Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Suy ra: a =± 1, b =0; 2ac +a =-2λ.Nh vËy, nÕu chän a =1, ta cã 2c +1 =-2λ hay c =-λ - 1/2 vµ  1  λ+   2  1  f = f1 = ξ − + Θ 2  ξ  (10.6) ξ   MÆt kh¸c, tõ (10.4) ta cã ln ϕ lµ nguyªn hµm cña f. Víi f = f1, ta cã ϕ = ϕ1 s ao cho: ξ2  1 1 ln ϕ1 = −  λ +  ln ξ + Θ  ξ  2  2   Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Suy ra: ξ2  1 + θ1 ( ξ ) − λ +  ϕ1 = e ξ 2  2 (10.7)Trong ®ã θ 1 ( ξ ) ≈ 1 vµ nghÞch biÕn theo ξT¬ tù, víi a =-1, ta cã 2c +1 =2λ hay c =λ - 1/2 vµ ng  1 λ +   2  1  f = f 2 = −ξ + + Θ 2  ξ  (10.8) ξ   T¬ øng ta còng cã ng ξ2  1 − + θ2 (ξ ) λ−  ϕ2 = e 2 ξ  2 (10.9) Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet namTrong ®ã θ 2 (ξcòng gÇn víi 1 vµ nghÞch biÕn theo ) ξ NghiÖm tæng qu¸t cña (10.3) khiξ ® lín lµ: ñ ξ2  1 ξ2  1 ...