Bài giảng cơ học lượng tử - Nguyễn Văn Khiêm : Bài 14b

Để bài toán về dòng trong trường xuyên tâm bớt phức tạp, ta cần biểu diễn gradient của hàm trạng thái trong một hệ toạ độ đặc biệt.Tại mỗi điểm M0 trong không gian với ba toạ độ ta xét một hệ gồm ba trục toạ độ xác định hư dưới đây.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng cơ học lượng tử - Nguyễn Văn Khiêm : Bài 14b Ho ng Duc Unive rs ity307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam C¬ häc lîng tö Ng uyÔn V¨n Khiªm Ho ng Duc Unive rs ity307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Bài 14 DÒNG ĐIỆN VÀ MOMENT TỪ Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam 1.Mật độ dòng Xét phương trìnhSchrödinger ∂ψ 2 2 i =− ∇ ψ + Uψ (14.1) ∂t 2µ Cùng với phương trình liên hợpphức ∂ψ * 2 2 * i =− ∇ ψ + Uψ * (14.2) ∂t 2µ ψ *và (14.2) với ψ Nhân (14.1) vớirồi lấy phương trình này trừ phương trình kia, ta được:  * ∂ψ ∂ψ *  i ψ  ∂t +ψ ∂t  =− 2µ (ψ ∇ ψ −ψ∇ 2ψ * ) 2 * 2 (14.3)   Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Vế trái của phương trình này chính là ∂ * ∂ i ( ∂t ) ψ ψ = i ψ ∂t 2 còn vế phải được biến đổi tiếpthành:  2  *  ∂  ∂ψ   ∂  ∂ψ  ∂  ∂ψ   ∂  ∂ψ *  ∂  ∂ψ *  ∂  ∂ψ *   − ψ   +   +   ∂z ∂z   −ψ   +  +    (14.4) 2µ   ∂x  ∂x   ∂y  ∂y    ∂x  ∂x  ∂y  ∂y  ∂z  ∂z           Mặt khác: ∂  ∂ψ  ∂  ∂ψ *  ψ *   −ψ   ∂x  =  ∂x  ∂x  ∂x   ∂  * ∂ψ  ∂ψ * ∂ψ ∂  ∂ψ *  ∂ψ ∂ψ * = ψ − − ψ ∂x  − ∂x ∂x =  ∂x  ∂x  ∂x ∂x ∂x   ∂  * ∂ψ  ∂  ∂ψ *  = ψ  − ψ  ∂x  ∂x  ∂x  ∂x   Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam và tương tự với các thành phần toạ độ y và z nên (14.4) trởthành: − 2 2µ [ * * ] div (ψ ∇ψ ) − div (ψ∇ψ ) = − 2 2µ [ ] div ψ *∇ψ − ψ∇ψ * . Do đó, (14.3) có thể được viết lại nhưsau: ∂ 2 i ∂t ψ = 2µ [ div ψ *∇ψ −ψ∇ψ * . ] (14.5)Vì ta đang xét chuyển động của đúng một hạt, mà   2 ρ( r ) = ψ ( r )  là mật độ xác suất tìm thấy hạt ở vị trí r   nên có thể coi ρ ( r ) như là “mật độ hạt” tai r Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Như vậy, vế trái của (14.5) chính là tốc độ biến thiên của mật độxác suất tìm thấy hạt. Đặt i 2µ [ div ψ ∇ψ − ψ∇ψ . = j * *  ] khi đó (14.5) trở thành: ∂ρ  + divj = 0 (14.6) ∂t So sánh với phương trình tương tự trong Cơ học cổ điển, lẽ tự  nhiên ta cần coi j là mật độ dòng và coi (14.6) là phương trình biểu diễn tính liên tục của mật độ dòng  suất. Vì dòng chỉ có một hạt nên nếu điện tích xác của hạt là q thì qj sẽ là mật độ dòng điện. Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam 2. Biểu diễn gradient trong hệ toạ độ địa phươngĐể bài toán về dòng trong trường xuyên tâm bớt phức tạp, ta cầnbiểu diễn gradient của hàm trạng thái trong một hệ toạ độ đặc biệt. Tại mỗi điểm M0 trong không gian với ba toạ độ r0 , θ 0 , ϕ 0 ta xét một hệ gồm ba trục toạ độ xác định hư dưới đây. Trước hét xét mặt cầu r = r0Trên hình vẽ, đường viền của mặt cầu này là đường tròn mầu đen.Ta hình dung mặt cầu này là “trong suốt”, nghĩa là các đường bêntrong nó không cần vữ đứt đoạn. Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam z ∂ψ 1 ∂ψ dr r dθ M0, ...