Bài giảng cơ học lượng tử - Nguyễn Văn Khiêm : Bài 20

Bây giờ ta sẽ dùng những suy luận chung ở bài 18 và bài 19 để nghiên cứu nguyên tử và hệ hạt với những dao động nhỏ Tạm thời, ta bỏ qua ảnh hưởng của spin đối với chuyển động. Nguyên tử như hệ hai hạtTrong bài 18 và bài 19, khi xét chuyển động của electron quang học trong nguyên tử..
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng cơ học lượng tử - Nguyễn Văn Khiêm : Bài 20 Ho ng Duc Unive rs ity307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam C¬ häc lîng tö Ng uyÔn V¨n Khiªm Ho ng Duc Unive rs ity307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Bài 20VÀI MÔ HÌNH ĐƠN GIẢN VỀ HỆ HẠT Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Bây giờ ta sẽ dùng những suy luận chung ở bài 18 và bài 19 để nghiên cứu nguyên tử và hệ hạt với những dao động nhỏTạm thời, ta bỏ qua ảnh hưởng của spin đối với chuyển động. 1.Nguyên tử như hệ hai hạt Trong bài 18 và bài 19, khi xét chuyển động của electron quang học trong nguyên tử, ta đã coi hạt nhân là tâm lực bất động và là đối tượng cỏ điển. Điều này được biện hộ bởi việc khối lượng hạt nhân là rất lớn so với electron, và vì thế nó có độ ỳ lớn. Tuy nhiên, việc coi nó là đối tượng cổ điển dù sao cũng khá thô, vì nố vẫn không thể so sánh được với các đối tượng vĩ mô. Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet namVì vậy, để có kết qủa chính xác hơn, ở đây ta sẽ coi cả hạt nhân làđối tượng lượng tửDo các electron đều quá nhẹ so với hạt nhân, nên khi dồn sự chú ývào một electron (electron quang học), ta có thể coi nguyên tử là hệhai hạt một electron và một nhạt nhân Ký hiệu m1 là khối lượng hạt nhân, m2 khối lượng electron, ta có phương trình trạng thái dừng của nguyên tử là:   2 2  2 2 − ∇1 − ∇ 2 Ψ + U ( r ) Ψ = EΨ (20.1)  2m1 2m2  Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam    m1r1 + m2 r2 Đặt = R( X , Y , Z ) m1 + m2  Khi đó R là bộ ba tọa độ của khối tâmPhương trình (20.1) trở thành  2 2  2 ~2− ∇ − ∇  Ψ + U ( r ) Ψ = EΨ (20.2) 2M 2µ trong đó∇ 2 lấy theo X, Y, Z tức là liên quan đến chuyển động của khối tâm m1m2 M = m1 + m2 và µ= m1 + m2 Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam ~ còn ∇ 2 lấy theo x, y, ztức là liên quan đến chuyển động tương đối giữa hai hạt m1m2 M = m1 + m2 và µ= m1 + m2Cũng như trong bài 18, việc tách biến dẫn đến nghiệm dừng: − ( P, R ) i   ( )  Ψ R, r = e  ψ ( x, y, z) (20.3) trong đó Ψ thỏa mãn phương trình  2 ~2 − ∇ Ψ + U ( r ) Ψ = εΨ (20.4) 2m2 P2 với ε =E− 2M Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet namlà năng lượng của chuyển động tương đối hay nội năng của hệ.Phương trình (20.4) hiển nhiên là phương trình chuyển động củahạt có khối lượng µ trong trường xuyên tâm U(r)  2 ~2 − ∇ Ψ + U ( r ) Ψ = εΨ (20.4) 2m2 Các mức năng lượng liên quan đến hằng số Rydberg - Ritz: e4µ R= 4π 3c Trong biểu thức này trước đây ta lấy µ bằng khối lượng electron thì ở đây phải lấy µ là khối lượng rút gon của hệ. Cũng vơí giá trị µ như vậy, các mức nội năng sẽ là: e4µ εn = 2 2 (n = 1, 2, 3, ...) 2 n Chú ý rằng ở đây ta đã bỏ qua spin của hạt. Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam2. Dao động nhỏ của hệ hạtTrước hết xét hệ hai hạt cùng có khối lượng là µKý hiệu x1, x2 là độ lệch của hai hạt so với vị trí cân bằng.Thế năng của hệ có dạng: µω 2 U ( x1 , x2 ) = ( x1 + x2 ) + λx1 , x2 + ... (20.5) 2 và hamiltonian của hệ là  2  ∂2 ∂ 2  µω 2ˆH =−  2 + 2+  ∂x ∂x  ( x1 + x2 ) + λx1, x2 + ... (20.6) 2µ  1 2  2 Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam trong đó ω là tần số dao động riêng của mỗi hạt (khi không có tương tác) λx1x2 +… là năng lượng tương tác.Để đơn giản hóa vấn đề, sau đây ta sẽ bỏ qua các số hạng chưa có mặt ˆtrong U và H (bậc cao hơn các số hạng đã viết)  1 Đặt: ...