Bài giảng cơ học lượng tử - Nguyễn Văn Khiêm : Bài 25

Trong bài này, ta tìm phương trình trạng thái ở dạng chỉ chứa các đạo hàm bậc nhất theo tọa độ không thời gian. Như đã nói ở bài trước, đây là một trong hai cách đói xứng hóa tương đối tính phương trình Schrödinger.Trở lại phương trình Schrödinger cho hạt tự do:
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng cơ học lượng tử - Nguyễn Văn Khiêm : Bài 25 Ho ng Duc Unive rs ity307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam C¬ häc lîng tö Ng uyÔn V¨n Khiªm Ho ng Duc Unive rs ity307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Bài 25PHƯƠNG TRÌNH DIRAC CHO HẠT TỰ DO Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet namTrong bài này, ta tìm phương trình trạng thái ở dạng chỉ chứa các đạo hàm bậcnhất theo tọa độ không thời gian.Như đã nói ở bài trước, đây là một trong hai cách đói xứng hóa tương đ ối tínhphương trình Schrödinger. Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam1. 1. Phương trình DiracTrở lại phương trình Schrödinger cho hạt tự do: ∂ψ ˆ = Hψ i (25.1) ∂t ˆ  2  ∂2 ∂2 ∂2  trong đó H =−  2 + 2 + 2 2m  ∂x  ∂y ∂z Để đối xứng hóa bậc nhất, ta phải thay biểu thức của toán tử này bằng biểuthức có dạng: . ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ H = β1 px + β 2 p y + β 3 p z + β 4 (25.2) trong đó ˆ ˆ ˆ ˆ β1 , β 2 , β 3 , β 4 Là những toán tử chưa biết.Tuy nhiên, dể bảo đảm (25.2) chỉ chứa các đạo hàm bậc nhất theo các biếnsố không gian, ˆ ˆ ˆ β1 , β 2 , β 3 ˆ ˆ ˆ ba toán tử không được phép chứa px , p y , pz Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam ˆĐồng thời, để bảo đảm tính bất biến của Hkhi dịch chuyển hệ tọa độ và dịch mốc thời gian, ˆ ˆ ˆ ˆ còn phải thừa nhận rằng β1 , β 2 , β 3 , β 4 không chứa chính các tọa độ x, y, z, t.Ta yêu cầu ˆ H thỏa mãn hệ thức năng - xung lượng sau: ˆ ( ) ˆ H 2 = c 2 p x + p y + pz2 ˆ + m 2c 4 I ˆ2 ˆ2 ˆ I (25.3) trong đó ˆ I là toán tử đồng nhất (hay toán tử đơn vị).Bình phương hai vế đẳng thức (25.2) và so sánh kết quả với (25.3) ta được : ˆ ˆ ˆ β12 = β 22 = β 32 = c 2 I ˆ  2 ˆ 2 4ˆ β 4 = m c I (25.4) β β + β β = 0 (i ≠ k)  i k  k i Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Bây giờ nếu đặt ˆ β i = cα i ˆ với i = 1, 2, 3 và ˆ β 4 = mc 2α 4 ˆ thì: H = c(α1 px + α 2 p y + α 3 pz ) + m 2c 4α 4 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ (25.5) đồng thời: ˆ ˆ α i2 = I  (25.6) α iα k + α kα i = 0 ˆ ˆ ˆ ˆ (i ≠ k )Như vậy, (25.1) được thay thế bởi phương trình: i ∂ψ ∂t [ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ] = c(α1 p x + α 2 p y + α 3 pz ) + mc 2α 4 ψ ˆ ˆ (25.7)Phương trình (25.7) chính là phương trình Dirac. Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet namPhương trình Dirac. i ∂ψ ∂t [ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ] = c(α1 p x + α 2 p y + α 3 pz ) + mc 2α 4 ψ ˆ ˆ (25.7) Chú ý: muốn cho phương trình Dirac có vẻ ngoài hoàn toàn đối xứng với x, y, z và τ=ct, ta thay ∂ ∂ ∂ px = −i ˆ p y = −i  ˆ pz = −i ˆ ∂x ∂y ∂zsau đó nhân hai vế với α4 (từ phía trái) và chú ý rằng α 4 = I 2 , chuyển vế và chia hai vế cho i c , ta được: ,  ∂ ∂ ∂ ∂ − imc α ∂τ + α ∂x ˆ4 ˆ 4α1 + α 4α 2 ˆ ˆ ˆ ∂y +α ˆ 4α 3 ψ = ˆ ∂z   ψ  hay 3 ∂ψ − imc ∑ γˆk k =0 ∂xk =  ψ (25.7) với x0 = τ = ct , x1 = x, x2 = y , x3 = z γˆ0 = α 4 , γˆi = α 4α i ...